Montag, 23. März 2015

Nachtrag zur Sonnenfinsternis vom 20.3.

Wenn die Sonne sich verfinstert, zieht bekanntlich die Mondscheibe vor ihr vorbei. Wir wollen einmal annehmen, dass diese den gleichen Durchmesser wie die Sonnenscheibe hat.[1] Von der Sonne verbleibt je nach Grad der Verfinsterung nur noch eine Sichel. Den Grad der Verfinsterung kann man durch den Anteil der verdeckten Sonnenfläche in Prozent messen. Andererseits bilden die Endpunkte der Sichel eine Sehne im Kreis, die sich mit zunehmenden Grad der Verfinsterung dem Sonnendurchmesser annähert.

Man kann sich nun die Frage stellen:
Wie gross ist die Sehne zwischen den Sichelspitzen bei gegebener Sonnenbedeckung in Prozent?
Oder, ganz ähnlich:
Wie gross ist der Zentriwinkel der Sichel bei gegebener Sonnenbedeckung in Prozent?
Das folgende Bild mag die Situation veranschaulichen. Ich habe auch ein kleines interaktives HTML-Canvas verfasst, mit dem man selbst den Verfinsterer spielen und sich anschauen kann, wie sich diese Werte verändern.


Auffällig ist in dieser Figur die Raute, die durch die beiden Sichelspitzen A und B sowie durch die Mittelpunkte von Sonne und Mond gebildet wird. Es ist eine Raute, da wir ja angenommen haben, dass beide den selben Radius r haben. In dieser Raute - wie in jeder Raute - sind die gegenüberliegenden Winkel gleich. Der Zentriwinkel, den die Sichelspitzen von Mond- oder Sonnenmittelpunkt her bilden, heisse α. Die Fläche der Raute kann aus α und r berechnet werden, da sie entlang ihrer Diagonalen in vier kongruente rechtwinklige Dreiecke zerfällt. Jedes dieser Dreiecke hat die Fläche
½ · r² · sin(α/2) · cos(α/2)
also nach dem Additionstheorem:
¼ · r² · sin α
Da die Raute aus insgesamt vier dieser Dreiecke besteht, hat sie die Fläche
r² · sin α
Die verfinsterte Sonnenfläche ist dann die Summe des von M nach rechts geöffneten Kreissektors der Sonne und des von M nach links geöffneten Kreissektors des Mondes – abzüglich eben dieser Rautenfläche (die bei der Summierung der beiden Kreissektoren offensichtlich doppelt gezählt wird):
A = 2·r²·α/2 – r²·sin α = r²· ( α – sin α )
Um den Zentriwinkel der Sichelspitzen für eine 80%ige Sonnenbedeckung zu berechnen, ist also die Gleichung
α – sin α = 80% · π
nach α aufzulösen. Das ist der interessantere Teil der Aufgabe, denn dies ist eine transzendente, nicht als algebraischer Ausdruck der Winkel- oder inversen Winkelfunktionen nach α auflösbare Gleichung. Hat man α einmal ermittelt, so ergibt sich die gesuchte Sehnenlänge zwischen den Sichelspitzen als 2r·sin(α/2).

Tatsächlich ist diese Gleichung vom Typ der sogenannten Keplerschen Gleichung
E – ε·sinE = M,
in der der Wert M, die sogenannte mittlere Anomalie, und ε, die Exzentrizität, gegeben sind, und die nach E, der exzentrischen Anomalie aufzulösen ist. Kepler stiess auf diese Gleichung in seiner Astronomie Nova, als er seinen berühmten, heute als zweites Keplersches Gesetz bekannten Flächensatz ("der Fahrstrahl des Planeten durchstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen") behandelte.

Die Gleichung ist nur iterativ oder in Form einer Reihenentwicklung lösbar. Wenn ich beispielsweise 80% von 180°, also 144°, als mittlere Anomalie M, und für ε den Wert 1, in einem Online-Keplergleichungslöser eingebe, so erhalte ich für E den Wert 161.84899. Das ist also der Zentriwinkel, der eine Sonnenbedeckung von 80% produziert.

Interessant ist nun, dass bereits Kepler selbst bei dem Versuch, die Keplergleichung zu lösen und auf ein elementareres Problem zurückzuführen, sie in ein Problem am Kreis verwandelt hat, das mit dem obigen sehr eng verwandt ist. Er schliesst seine Betrachtungen dazu [2]:
Dies ist meine Ansicht. Je weniger geometrische Schönheit der Aufgabe zuzukommen scheint, umso dringender fordere ich die Mathematiker auf, sie mögen mir folgendes Problem lösen:

Wenn der Flächeninhalt von einem Teil eines Halbkreises, sowie ein Punkt auf dem Durchmesser gegeben ist, einen Bogen und einen Winkel an diesem Punkt so zu bestimmen, dass die Schenkel des Winkels und der Bogen die gegebene Fläche umschliessen.

Mir genügt die Überzeugung, dass eine Lösung a priori nicht möglich ist wegen der heterogenen Beschaffenheit von Bogen und Sinus. Wer immer mir aber einen Irrtum und Ausweg nachweist, der sei mir ein grosser Mathematiker gleich Apollonius.


Das heisst, aus der im folgenden Bild grau gezeichneten Fläche QFB soll der Winkel QFB bei dem exzentrisch auf dem Halbkreisdurchmesser gelegenen Punkt F ermittelt werden (oder irgendein anderer Winkel des Dreiecks CFQ, da diese ja ineinander umgerechnet werden können):

Wählt man den Winkel α beim Mittelpunkt C als Unbekannte, so erhält man die Gleichung
2A/r² = α – ε·sin α,
worin ε das Verhältnis von CF zu r bezeichnet – also tatsächlich auch in dieser Situation das, was man Exzentrität nennen würde – und A die gegebene, grau bezeichnete Fläche QFB.

Hier noch der Auszug aus dem 60. Kapitel der Astronomia Nova, der die obige Textpassage enthält:



Ich danke meinem Vater für die Anregung zu dieser unterhaltsamen – und eben doch nicht elementargeometrischen – Aufgabe.

Um diesen Blog in der Kategorie Astrologie unterzubringen, muss ich nur noch den Bogen zur Sterndeutung schlagen. Daher erlaube ich mir, mit einer Bemerkung des Astrologen Thorsten Krawinkel über den Pfad dieser Finsternis (genauer: ihres Kernschattens) zu schliessen:


Es sieht nämlich aus, als würde diese Finsternis Island vom Rest Europas abzirkeln. Tatsächlich hat Island vor wenigen Tagen sein EU-Beitrittsgesuch zurückgezogen. Hintergrund ist der Streit um die Fischereipolitik der Walfangnation. Auch dies für den Finsternisort im Zeichen Fische ein passendes Symbol!




[1] Tatsächlich sind die scheinbaren Durchmesser von Sonne und Mond annähernd gleich: der Sonnendurchmesser schwankt zwischen 31.6′ und 32.7′, der Monddurchmesser zwischen 29.3′ und 34.1′. Die Tatsache, dass Sonne, Mond und Erde im Sonnensystem so eingestellt sind, dass diese annähernde Gleichheit der Durchmesser für einen Erdbeobachter besteht, ist überhaupt nicht selbstverständlich.
[2] Ralph Strebel, Die Keplersche Gleichung, Zürich 2001, hat eine schöne Abhandlung über die Keplersche Gleichung geschrieben, die nicht nur diesen Punkt beleuchtet, sondern auch viele andere Appetithäppchen für den Mathematikunterricht an Schulen bereithält.

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