Sonntag, 12. Februar 2017

Über direkte Demokratie

Der Staat - Obrigkeit oder Instrument des Volkswillens?
Volksentscheide
Herrschaft, Macht und Volksherrschaft
Die Systemfrage
Die Gefahren des Machtmißbrauchs
Gewaltentrennung
Die unpolitische Masse
Subsidiarität
Vox Populi: Vox Dei oder Vox Rindvieh?
Populisten und Demagogen
Demokratie und Multikulti
Fazit

Der Staat - Obrigkeit oder Instrument des Volkswillens?

Wer als Deutscher einige Zeit in der Schweiz lebt, der spürt unmittelbar, daß die Schweizer im allgemeinen ein besseres Verhältnis zu ihrem Staat haben als die Deutschen - es lebt in ihrem Bewusstsein, daß ihr Staat etwas ist, das sie sich leisten und der in seiner konkreten Ausprägung ihrem gemeinsamen Willen unterworfen ist.

Dagegen fühlen sich Deutsche einer Obrigkeit unterstellt, die, selbst wenn sie sie wählen, nicht in ihrem Dienst steht, sondern ihnen als eine potentiell feindliche Gruppe gegenübersteht. Dasselbe Gefühl, nur von der anderen Seite, haben auch deutsche Politiker: obwohl allein durch Wahlen, also vom Volk legitimiert, fühlen sie sich vor dem Volk durch einen besonderen Sachverstand und ein besonders hohes Verantwortungsbewußtsein ausgezeichnet; je weiter sie in der Hierarchie nach oben gelangen, umso mehr glauben sie, die Kompetenz eines Erziehers zu besitzen, der das Volk dorthin führen muß, wohin es von sich aus nicht will. Exemplarisch wird das im Ausspruch des Bundespräsidenten Gauck deutlich: Die Eliten sind gar nicht das Problem, die Bevölkerungen sind im Moment das Problem.

Volksentscheide

Mir erscheint das Verhältnis der Schweizer zu ihrem Staat als das gesündere; es mag eine Reihe historischer Gründe für diesen Unterschied geben – ein wichtiger Grund liegt aber sicher darin, daß in der Schweiz auf Bundesebene über politische Schicksalsfragen abgestimmt werden kann. Diese direkte Einflussmöglichkeit fördert das Bewußtsein, daß dieser Staat ihr Projekt ist und es um ihre eigenen Interessen geht.

Das legendäre Nein des Schweizer Volkes zum EWR-Beitritt (am 6. Dezember 1992) - wenn auch mit einer unglaublich knappen Mehrheit - zeugt, rückblickend gesehen, von einer grandiosen Weitsicht. Von Sorge um das Wohl des Schweizer Volkes getragen sind auch die Abstimmungen über die Begrenzung der Religionsausübungsfreiheit (in Deutschland schrankenlos gemäss Art.4(2) GG) durch das Minarettverbot (am 29. November 2009) – eine deutliche Abgrenzung vom Islam – und die Rückkehr zum Einwanderungsreglement von vor 2007, also mit Kontingenten und Höchstzahlen (die Masseneinwanderungsinitiative (MEI) vom 9. Februar 2014, auch wenn die Umsetzung dieses Volksentscheides von der politischen Klasse sabotiert wurde, was zugleich ein Durchsetzungsproblem der direkten Demokratie aufwirft).

Dem kann man in Deutschland als ein Beispiel von vielen die Einführung des Euro am 2. Mai 1998 entgegenhalten: sie geschah gegen den Willen des deutschen Volkes, und die Regierung wusste das. Kanzler Helmut Kohl sagte rückblickend in einem Interview: Bei der Einführung des Euro war ich wie ein Diktator... Eine Volksabstimmung über die Einführung des Euro hätten wir verloren... und zwar im Verhältnis 7 zu 3. [1] Auch hier muß man dem Volk einen größeren Weitblick als seinen Eliten attestieren: die Geschichte Deutschlands und Europas wäre sicher ganz anders verlaufen ohne diese desaströse EU-Währung und den Versuch, die Völker Europas von der Wirtschaft her, mit dem Hilfsmittel einer Währung, von oben zu einem neuen Kunstvolk nach dem Vorbild der USA zusammenzuschweißen.

Herrschaft, Macht und Volksherrschaft

Max Weber lehrte uns, Macht von Herrschaft zu unterscheiden: während Macht die Chance bedeutet, innerhalb einer sozialen Beziehung den eigenen Willen auch gegen Widerstreben durchzusetzen, gleichviel worauf diese Chance beruht, bedeutet Herrschaft die Chance, für einen Befehl bestimmten Inhalts bei angebbaren Personen Gehorsam zu finden. [2] Der "soziologisch amorphen" Macht steht die in einem historischen und sozialen Kontext gegründete Herrschaft gegenüber. Vereinfacht gesagt, ist Herrschaft gewollte Macht: die Menschen, die bereit sind, dem Herrschaftsinhaber Gehorsam zu leisten, haben dabei das Wohl eines gemeinsamen Ganzen im Auge - ihres Volkes, in dem ihre Eigenexistenz und ihre Einzelperson verankert sind: damit das Volk blühen und gedeihen kann, müssen gewisse kollektive Aufgaben im Interesse aller geregelt werden.

Seit der Zeit der Aufklärung wurde es Mode zu glauben, alle Herrschaft vor dem Aufkommen der modernen parlamentarischen Demokratien wäre illegitim, nicht wirklich vom Volk gewollt gewesen. Das ist naiv. Selbstverständlich war auch die Herrschaft der Könige und Fürsten nicht bloß Macht, sondern Herrschaft im Weberschen Sinne. Ich hatte das bereits in meinem Blogpost Gewollte Herrschaft ausgeführt.

Die Systemfrage

In einem intellektualistischen Zeitalter neigen wir dazu, die Frage nach dem konkreten Herrschaftssystem überzubewerten. Seit Platos Politeia-Träumereien war es eine grosse Versuchung für Intellektuelle, den ganzen Staatsaufbau idealerweise aus einigen einfachen Prinzipien herzuleiten und die Gesellschaft aus der als richtig erkannten Idee heraus neu zu formen.

In Abwandlung von Wilhelm Busch könnte man formulieren

(...)
Im Durchschnitt ist man kummervoll
und weiß nicht, was man machen soll.

Nicht so der Intellektuelle: kaum mißfällt
ihm diese altgebackne Welt,
so knetet er aus weicher Kleie
eine einwandfreie neue.

Das ist eine ungesunde Übertreibung des Theoretischen - mehr noch, es ist eine Hybris, die überall dort, wo sie sich Geltung verschaffen konnte, gewaltige Verheerungen angerichtet hat. Denn politische Systematiker haben die Neigung, gewachsene und eingespielte soziale Strukturen, auf denen das Funktionieren der Gesellschaft gründet, ohne viel Federlesens abzuschaffen, wenn sie nicht in ihr Schema von der idealen Gesellschaft passen.

Vor allem ist die Systemfrage nicht von der überragenden Bedeutung, wie sie vielen erscheint. Es gibt wichtigere Dinge, die über das Gelingen oder Scheitern eines zivilisierten Gemeinwesens entscheiden. In der Hauptsache hängt das Gelingen eines Staates davon ab, daß in der Bevölkerung ein gemeinsamer moralischer Kompass existiert - daß der einzelne gewissermaßen moralisch eingenordet ist, daß er mit seinen Mitmenschen die Bereitschaft zum guten Handeln teilt und sich überhaupt mit seinen Mitmenschen - über alle persönlichen Sympathien und Antipathien hinausgehend - als Teil einer Gemeinschaft empfindet, sich um deren Wohl sorgt und bereit ist, für sie Opfer zu bringen, nicht nur Nutzen aus ihr zu ziehen.

Das stellt auch die Frage nach der Demokratie – gar der direkten, um die es hier geht, in die richtigen Relationen. Es sind grundsätzlich auch andere politische Ordnungen als die parlamentarisch-demokratische denkbar, in denen legitime Herrschaft ausgeübt wird und ein zivilisiertes Miteinander herrscht: die genannten Voraussetzungen – das Zusammengehörigkeitsgefühl und das Bemühen des einzelnen, sich an den gemeinsamen moralischen Normen zu orientieren – sind viel entscheidender für Gedeih und Verderb der Gesellschaft als ihre historisch-konkrete politische Gestalt.

Die Gefahren des Machtmißbrauchs

Alle Macht geht vom Volk aus... und kehrt nie wieder dorthin zurück, lautet ein alter sarkastischer Scherz. Menschen haben leider eine unausrottbare natürliche Neigung, die Macht, die ihnen einmal übertragen wurde, zu behalten, zu festigen, auszudehnen und für ihre persönlichen Zwecke auszunutzen. Ihre Machtposition birgt ein gewaltiges Schadensrisiko. Die einzige Möglichkeit, dieses Schadenspotential wenigstens begrenzt zu halten, besteht in der Kontrolle der Herrschenden durch das Volk, in dessen Dienst sie stehen.

Gerade weil Völker nun einmal die relevanten politischen Subjekte darstellen, die den Angelpunkt politischen Denkens bilden müssen, kann einem jedes Mittel recht sein, um die politischen Repräsentanten möglichst eng an den Volkswillen zu binden. Gerade wenn man weiß, daß Korruption und Machtmißbrauch nicht aus der menschlichen Natur auszumerzen sind, sollte einem daran liegen, die Übertragung politischer Macht auf einzelne Volksvertreter möglichst risikoarm zu gestalten: beispielsweise ist es allgemeine Meinung, daß Volksvertreter nicht auf Lebenszeit, sondern nur für einige Jahre ein politisches Amt übernehmen sollten.

Um es mit Montesquieu zu sagen:

Die politische Freiheit ist nur unter maßvollen Regierungen anzutreffen. Indes besteht sie selbst in maßvollen Staaten nicht immer, sondern nur dann, wenn man die Macht nicht mißbraucht. Eine ewige Erfahrung lehrt jedoch, daß jeder Mensch, der Macht hat, dazu getrieben wird, sie zu mißbrauchen. Er geht immer weiter, bis er an Grenzen stößt. Wer hätte das gedacht: Sogar die Tugend hat Grenzen nötig.[3]

Gewaltentrennung

Ein wichtiges Korrektiv, um Machtmißbrauch zu verhindern, ist auch die Grenzsetzung politischen Handelns durch das Recht, das von einer streng getrennten Judikative überwacht und gepflegt wird – also die Gewaltentrennung (der Begriff Gewaltentrennung ist nicht nur die korrekte Übersetzung aus dem englischen Original separation of powers, sondern drückt auch besser als "Gewaltenteilung" aus, daß es nicht um eine Zusammenarbeit verschiedener, im Grunde gleichgeschalteter Herrschaftsbereiche geht, sondern um echte gegenseitige Kontrolle). Auch dieser Grundsatz der Gewaltentrennung ist in Deutschland nicht verwirklicht, vor allem wegen der Ernennung der rechtsprechenden durch die exekutive und legislative Gewalt.

Wenn eine Gesellschaft beansprucht, auf eine bestimmte Weise verfasst zu sein, diese Verfassung aber nur auf dem Papier vorzufinden ist, gedeiht die Heuchelei. In dem Bewusstsein, daß selbst die grundlegendsten Prinzipien des Rechtsstaats nicht verwirklicht sind, erscheint auch jeder andere Rechtsbruch als eine läßliche Sünde. Bis in die höchsten politischen Kreise hinein (und dort mit den schlimmsten Auswirkungen) blüht die Mentalität des Legal - illegal - scheißegal, so daß wir ständig mit ungeahndeten Rechtsbrüchen gewaltigen Ausmaßes durch die Exekutive konfrontiert sind.

Wie auch immer das Recht im einzelnen ausgestaltet ist - die Rechtssicherheit ist von entscheidender Bedeutung für ein zivilisiertes Gemeinwesen. Aus gutem Grund zitierte Papst Benedikt XVI. auf seiner Rede vor dem Bundestag am 22.9.2011 den Ausspruch des Hl. Augustinus:

Nimm das Recht weg – was ist dann ein Staat noch anderes als eine große Räuberbande? [4]
Jeder Bürger braucht Rechtssicherheit - für die Planung seiner Arbeit, seiner Unternehmungen, seines eigenen Lebens wie auch des seiner Familie. Rechtssicherheit gehört zu den kollektiven Gütern, für deren Erhalt wir uns einen Staat überhaupt leisten (darin ist sie z.B. der Infrastruktur ähnlich, nur fundamentaler).

Die unpolitische Masse

Ein häufiger Einwand gegen direkte Demokratie – der genauso gegen Demokratie überhaupt angeführt werden kann – lautet: ein großer Teil der Bevölkerung sei doch an politischen Fragen sowieso desinteressiert, würde sich gar nicht um Politik kümmern.

Ja und? Es war so, seit es Menschen gibt: der vermutlich größte Teil der Menschen kreist um seine persönlichen Belange - sie bestellen ihre Scholle, kümmern sich um ihre Lieben und lassen ansonsten den Kaiser einen guten Mann sein. Daran ist auch nichts Verwerfliches. Schon der "Prediger" resümierte vor Jahrtausenden:

Darum merkte ich, daß nichts Besseres darin ist, denn fröhlich sein und sich gütlich tun in seinem Leben. Denn ein jeglicher Mensch, der da isst und trinkt, und hat guten Mut in seiner Arbeit, das ist eine Gabe Gottes. (Prediger 3,12-13)

Herrschaftssysteme kommen und vergehen, Monarchen und Präsidenten treten auf und ab, aber die Erde dreht sich weiter, und die grundlegende metaphysische Verfasstheit dieser Welt, die moralische Substanz und die Natur des Menschen bleiben sich gleich. Wieso sollte man es daher als ein Übel ansehen, wenn viele sich gar nicht um die Details kümmern? Sie arbeiten und kümmern sich um ihren Anteil am Ganzen - sie sind nicht Parteigenosse, nicht Bezirksrat oder Stadtpräsident, aber sie sind die tragenden Säulen der Gesellschaft: sie schaffen den Wohlstand, von dessen Zehnten die Eliten sich bloß nähren, hier lebt in gesunden Gesellschaften auch der Gemeinschaftsgeist und das Zusammengehörigkeitsgefühl. Von Gnaden dieser schaffenden Menschen, und um dieser Menschen willen, existiert der ganze Laden überhaupt.

Auf die Frage der Abstimmungen bezogen, gilt natürlich: Wer schweigt, scheint zuzustimmen. Mehr als die Möglichkeit ihrer Stimme kann kein System den Menschen geben. Ob sie es gebrauchen, liegt in ihrer Hand. Die Alternative: der Versuch, das Volk zu höherer politischer Bewußtheit zu erziehen, ist stets gescheitert und mündete sehr schnell in Systeme, in denen der Staat sich zum Vormund seiner Bürger aufspielt.

Subsidiarität

Demokratie kann umso weniger gelingen, je mehr den Menschen von oben in ihre Belange hineingepfuscht wird. Die Kompetenzen der Eliten sind nicht nur durch Gewaltentrennung zu kontrollieren, sondern grundsätzlich auf das mindest Nötige zu beschränken. Dieser Grundsatz heißt Subsidiarität. So steht die ganze Machtpyramide auf gesundem Fundament: der, der ganz oben steht, hat nicht etwa die meiste Macht, sondern nur gerade soviel Macht, wie benötigt wird, um Belange zu regeln, die in darunterliegenden Einheiten nicht geregelt werden können. Ganz unten in der Pyramide steht der Souverän, der Mensch – durch sein Leben verankert in seiner Familie, seiner Gemeinde, seiner Religion, seinen Vereinen, seinem Volk. Was auch immer er sinnvoll für sich regeln kann, soll er tun – wo es nicht möglich ist, sollen dies die nächsten ihn umhüllenden Gemeinschaften tun.

Das Subsidiaritätsprinzip wird in der Theorie überall gutgeheißen, es steht in allen Verfassungen, sogar in einer für alle Mitglieder verbindlichen EU-Charta. In der politischen Praxis wird ihm aber entgegengearbeitet: so ist es beispielsweise das unverhohlene Ziel der EU wie auch der Bundesregierung, Kompetenzen der Nationalstaaten in der Innen-, Außen-, Verteidigungs- und Wirtschaftspolitik auf die EU zu übertragen und auch die Legislativen der EU-Mitgliedsstaaten zu bloßen Akklamationsorganen für Gesetzesentwürfe aus Brüssel zu degradieren.

Vox Populi: Vox Dei oder Vox Rindvieh?

Vox Populi - vox Dei, Volkes Stimme - Gottes Stimme, liegt darin nicht eine unerhörte Anmaßung? Schon Alkuin, Berater Karls des Großen, hielt nicht viel von diesem offenbar uralten Grundsatz:
Auf diejenigen muss man nicht hören, die zu sagen pflegen, "Volkes Stimme, Gottes Stimme", da die Lärmsucht des Pöbels immer dem Wahnsinn sehr nahe kommt. [5]
Später wurde der Spruch in Deutschland zu Vox populi, vox Rindvieh verhunzt, worin sich die gleiche Verachtung des "Pöbels" ausdrückt. Immer sind da Leute, die es besser wissen als das Volk, in dessen Auftrag sie handeln sollten. Die die Macht, sobald sie sie einmal ergriffen haben, für alles mögliche gebrauchen, ohne sich ihrem Volk noch in irgendeiner Weise verpflichtet zu fühlen. Das Volk wird zum lästigen Pöbel degradiert, für den man sich allenfalls schämt und den es lediglich ins politische Kalkül einzubeziehen gilt. Ansonsten weiß man besser als dieser Pöbel, was zu tun ist – man kann ja lesen und schreiben, man gehört einer anderen Klasse an: der politischen Klasse.

Dabei enthielt der Ausspruch vox populi - vox Dei eine tiefe Wahrheit. Selbstverständlich ist nicht etwa die Hybris gemeint, das Volk würde sich zum Gott erheben, den Platz Gottes einnehmen. Vielmehr wird gesagt, daß Völker gottgewollt sind und die wahre Legitimationsquelle für alles politische Handeln darstellen. Jedes politische Amt besteht nur zu Diensten des Volkes, ist nur durch das Volk legitimiert. Solange Völker sich als Völker empfinden, spricht durch sie der Wille Gottes.

Daß es in einem Volk Experten und Laien gibt, daß es Kluge und weniger Kluge gibt – geschenkt. Entscheidend ist, daß alle sich gemeinsam dem Besten ihres Volkes verpflichtet fühlen. Auch Kompliziertes muß sich, wenn es sehr Grundsätzliches betrifft, in seinen Grundzügen einfach darstellen lassen können.

Auch handelt direkte Demokratie nicht davon, alle, auch die kleinsten alltäglichen Details des Regierens per Volksentscheid regeln zu wollen – diese werden weiterhin delegiert an die politischen Repräsentanten, und selbstverständlich ist zu ihrer Ausführung Expertise notwendig. Der Repräsentant weiß, daß die von ihm angekündigten politischen Zielsetzungen vom Volk gebilligt sind, sonst wäre er nicht da, wo er ist. Er muß nicht bei allem, was er nun in seiner Amtszeit im politischen Alltag entscheidet, den neuesten Umfragen hinterherhecheln. Das wäre eine mißverstandene direkte Demokratie zu Lasten der politischen Handlungsfähigkeit des Volkes. Die Volksentscheide gehen vielmehr auf die großen Linien, auf Langfristiges, Strategisches, auf Schicksalsfragen der Nation (oder was ein hinreichender Teil des Volkes dafür hält).

Populisten und Demagogen

Das Pejorativum Populismus wird in den Haupststrommedien im Endlosmodus verwendet, um die Opposition zur herrschenden politischen Klasse zu diskreditieren. Hierzu hat Frank Furedi bereits 2014 in einem brillanten Essay alles Relevante gesagt.

Der im Wort enthaltene Vorwurf an den politischen Gegner lautet im Kern, er würde (unzulässigerweise) "einfache Lösungen für komplizierte Probleme" anbieten. Da erheben sich gleich mehrere Einwände:

  • Erstens gibt es ja für eine Reihe von Problemen tatsächlich einfache und zugleich wirkungsvolle Lösungen.
  • Zweitens gibt es auch eine Scheinkomplexität, hinter der sich Machthaber verschanzen können: tatsächlich Einfaches kann als unglaublich kompliziert und detailreich dargestellt werden, so daß nur Experten es noch überschauen können (die man daher also dringend weiterhin auf der payroll des Volkes braucht). Der Kaiser kann glauben, ein gar kunstvolles Gewand zu tragen, das aus den exotischsten Stoffen verwoben und versponnen ist - und doch in Wahrheit nackt sein.
  • Drittens ist die unzulässige Vereinfachung, die es natürlich unbestreitbar gibt, nicht auf ein bestimmtes politisches Lager beschränkt. Die einzige Möglichkeit, diese zu entkräften, liegt darin, die voraussehbaren schädlichen Wirkungen dieser Vereinfachung seinerseits in einfacher, für alle verständlichen Form im politischen Diskurs klarzustellen.
Auf Volksentscheide angewandt, bleibt hier zu wiederholen: was sich überhaupt sagen läßt, das läßt sich auch klar sagen. Gerade wenn es um die großen Linien, die Schicksalsfragen des Volkes geht, die jeden angehen, muß es möglich sein, den richtigen Weg und den Nutzen für das Volk auch in klaren Worten und in einfacher Form zu vermitteln, so daß nicht nur Experten es verstehen, sondern jeder mit gesundem Menschenverstand begabte Bürger ebenso.

Aber kann nicht ein Demagoge mit populistischen Sprüchen an die Macht kommen? Ja, das ist möglich. Wenn er Demokratie und Gewaltentrennung beibehält, kann man ihn zügig wieder abschaffen. Wenn er sich nicht daran hält, wird es schwieriger: dann ist ein – in der Regel blutiger – Seitenstrang der Geschichte eröffnet, bis Recht, Gesetz und volkslegitimierte Herrschaft wiederhergestellt sind. Noch schwieriger wird es, wenn sich die Machthaber nur teilweise an Demokratie und Gewaltentrennung halten und sich nur mit den Lippen zu ihrer Verfassung bekennen - wie im heutigen Deutschland.

Grundsätzlich ist zu diesem Einwand zu sagen: leider gibt es grundsätzlich keine Herrschaftsform ohne das Risiko ihrer Selbstabschaffung. Demokratie, Volksentscheide, Gewaltentrennung sind auch nur Sicherungsmechanismen, sie enthalten keine Ewigkeitsgarantie für das System, das sie schützen sollen. Ja, es ist wahr: es kann demokratisch die Abschaffung der Demokratie beschlossen werden. So wie "leben immer lebensgefährlich ist", so gibt es auch keine Versicherung gegen den Untergang einer gesellschaftlichen Ordnung. Die Möglichkeit existiert und ist prinzipiell unvermeidlich. Das habe ich an anderem Ort bereits diskutiert.

Demokratie und Multikulti

Ein wirklich ernstzunehmender Einwand gegen Demokratie liegt darin, daß ihre Grundlage, ein gesunder, seine Identität pflegender Demos, seit Jahrzehnten systematisch zersetzt wird. Ohne Demos aber gibt es keine Demokratie. Unter dem jeder Begründung enthobenen Dogma "Diversität ist gut" wird schon seit langem der massenhaften Einwanderung anderer Völker nicht nur kein Widerstand entgegengesetzt, sondern sie wird noch ausdrücklich willkommen geheißen.

Wenn aber das Volk durch einen Vielvölkerstaat ersetzt wird, zerfällt seine Handlungs- und Willenseinheit, Voraussetzung aller demokratischen Entscheidungsfindung. Statt Demokratie gibt es dann nur noch Lobby- und Partikularinteressen, der Staat wird nur noch zur Interessenvertretung einzelner konkurrierender Gruppen, die ihn sich zur Beute zu machen suchen. Wenn das Volk demontiert wird, gibt es auch nicht mehr das gemeinsame Wohl des Volkes als Ziel, dem sich alle Gruppen verpflichtet fühlen. Die Geschichte lehrt, daß in solchen Gemengelagen früher oder später ein brutaler Kampf der einzelnen Gruppen um die Vorherrschaft einsetzt. Das friedliche Miteinander ist eine Fiktion.

Aber gerade weil das so ist: gerade weil die Fragmentierung des Volkes zwar droht, aber noch nicht besteht, ist die Forderung nach mehr Demokratie wichtig, weil sie das Volk stärkt, solange es noch eine Mehrheit in seinem eigenen Territorium darstellt.

Fazit

Es gibt keine andere Legitimation politischer Herrschaft als durch das Volk: das ist eigentlich mit dem alten Satz vox populi - vox Dei gemeint. Bei jeder andere vermeintlichen Rechtfertigung von Herrschaft stellt sich sofort die alte Juvenalsche Frage quis custodiet custodes? Wer überwacht die Bewacher?

Aus diesem Grunde sind Volksentscheide zu wichtigen, strategischen Fragen der Politik eine wertvolle Ergänzung der repräsentativen Demokratie. Sie stärken auch das Bewußtsein des Volkes, daß der Staat sein Projekt ist - daß er seinem Volk zu dienen hat.

Gerade in einer Zeit, in der die Regierungen mit globalistischen Flausen im Kopf auf eine Zerstörung gewachsener Völker hinarbeiten, gerade wenn die Uhr des multikulturalistischen Zerstörungswerkes erbarmungslos tickt, sollten die Völker alle nur möglichen Pfeile im Köcher haben, die ihnen zur Selbstbehauptung gegen ihre irrlichtelierenden Herrscher noch zur Verfügung stehen. Dazu gehören insbesondere bindende Volksentscheide (und nicht etwa bloß konsultative Volksbefragungen), wie in der Schweiz.

Quellen

[1] Kohl, Helmut: Bei der Euro-Einführung war ich ein Diktator, merkur.de vom 11.4.2013, https://www.merkur.de/politik/helmut-kohl-bei-euro-einfuehrung-diktator-zr-2846068.html
[2] Weber, Max: Wirtschaft und Gesellschaft, Mohr Siebeck (Tübingen), 1972, S. 28.
[3] Montesquieu, Vom Geist der Gesetze (1748), Reclam (Stuttgart) 1994, S. 215.
[4] Augustinus von Hippo, De civitate dei, IV.4.1
[5] Brief Alkuins an Karl den Großen (798?), bei http://www.dmgh.de

Montag, 7. November 2016

Jass-Spielpläne ohne Wiederbegegnung

Das Jass ist ein im alemannischen Sprachraum verbreitetes Kartenspiel mit vier Spielern. Es erfreut sich in der Schweiz großer Beliebtheit, und häufig werden Jass-Turniere organisiert, bei denen in jeder Runde an mehreren Tischen gleichzeitig gespielt wird. In der folgenden Runde wechseln die Teilnehmer nach einem vorgegebenen Spielplan ihre Plätze und spielen somit gegen andere Teilnehmer.

Dabei soll der Spielplan gewährleisten, dass eine maximale Durchmischung stattfindet. Die Spieler sollen idealerweise in jeder Runde gegen andere Spieler antreten. Eine Frage, die man sich hierbei stellen kann, ist:

Wieviele Runden kann ein Spielplan maximal vorsehen, so daß sich keine zwei Teilnehmer in mehr als einer Runde an einem Tisch begegnen?
Nehmen wir ein Turnier in mittlerer Größe an, mit 24 Teilnehmern, die somit an sechs Tischen miteinander spielen.

Eine Obergrenze für die Rundenzahl ergibt sich natürlich aus der Gesamtzahl der Spieler: da jeder Spieler in jeder Runde gegen drei andere Teilnehmer antritt, kann es nicht mehr als sieben solcher Runden geben: denn in einer achten Runde gäbe es nur noch zwei Spieler, gegen die er noch nicht gespielt hat – nicht genug, um einen Tisch vollzubekommen. Nun ist dies eine sehr theoretische Obergrenze. Ich kann zeigen:

Ein Spielplan kann maximal genau M=5 Runden enthalten, in denen jeder Spieler in jeder Runde gegen andere Leute spielt.
Obwohl ich das dringende Gefühl habe, dass es einen sehr einfachen Beweis geben muss, um M=6 und M=7 auszuschließen, habe ich einen solchen nicht gefunden. Ich kann im folgenden nur einen Computerbeweis angeben, und diese haben die unschöne Eigenschaft, daß sie von einigen sehr puristischen Mathematikern nicht anerkannt werden – im Grunde mit dem gleichen Argument, das vor über zweitausend Jahren schon zum Ausschluß von Archimedes aus der Akademie der Wissenschaften von Alexandria geführt hat: daß nämlich durch Beweise dieser Art – ebenso wie durch die damaligen Wasserverdrängungsmessungen des Archimedes – "der reine Geist der Mathematik mit schmutziger Materie befleckt wird". Wer es also schafft, einen rein geistigen Unmöglichkeitsbeweis für die Fälle M=6 oder wenigstens M=7 zu führen, ist herzlich eingeladen, mir diesen mitzuteilen.

Doch nun zur Beweisführung. Sämtliche möglichen Spielpläne maschinell durchzurechnen, sprengt sehr schnell die Leistungsgrenzen von Computern. Eine einzelne Runde bietet ja bereits 24! = 6.2045·1023 Möglichkeiten, die Spieler aufzuteilen. Mit allzu brutaler brute force geht es also nicht. Wir müssen ein paar Symmetrie- oder Äquivalenzüberlegungen voranstellen, um die Zahl der zu prüfenden Möglichkeiten signifikant zu verringern.

Schauen wir uns einmal einen Spielplan mit zwei Runden an, der die gewünschte Bedingung erfüllt:

Wie man an den Farben direkt sieht, sitzt jeder Spieler in der zweiten Runde tatsächlich nur mit Spielern an einem Tisch, die in der ersten Runde an anderen Tischen saßen. Dieses Beispiel beweist also durch seine bloße Existenz: M≥2.

Hinter diesem Übergang von der ersten zur zweiten Runde verbirgt sich eine Struktur, die ich (4,4)-Relation nenne: wenn wir uns die Sache auf Tischebene anschauen, steht jeder Tisch der ersten Runde mit genau vier Tischen der zweiten Runde in Beziehung: nämlich mit den vier Tischen, an denen seine Spieler in der zweiten Runde Platz nehmen. Umgekehrt steht jeder Tisch der zweiten Runde mit genau vier Tischen der ersten Runde in Beziehung: nämlich den vier Tischen der ersten Runde, von denen die Spieler des Tisches in der zweiten Runde herkommen.

Wir haben also dem Übergang von der ersten zur zweiten Runde eine Relation R auf der Menge mit 6 Elementen zugeordnet, mit der Eigenschaft |R-1(x)| = |R(x)| = 4 für alle x = 1,...,6. Eine solche Relation läßt sich – wie jede Relation – als eine nur mit Nullen und Einsen besetzte quadratische Matrix darstellen. In diesem Beispiel hat die Matrix die Gestalt

Relation der beschriebenen Art sind dadurch charakterisiert, dass ihre darstellende Matrix in jeder Spalte und in jeder Zeile genau vier Einsen (und somit genau zwei Nullen) enthält. Die Menge solcher Matrizen bildet eine Teilmenge aus der Menge aller Relationen. Hat letztere 236 Elemente (klar: auf jedem Platz der Matrix kann eine Eins oder eine Null stehen), enthält erstere nur noch 67950 Elemente. Das kann man durch simples Durchzählen ermitteln, etwa in einem kleinen JavaScript-Programm. Es ist aber auch eine in der Mathematik bekannte Zahl aus der relativ gut erforschten OEIS-Zahlenfolge A001499. Nennen wir diese Menge R64;4

Nun ist klar, dass die Lösung eine Lösung bliebe, wenn man die Tische in der ersten oder zweiten Runde einfach nur umstellen würde. Mathematisch gesprochen, bedeutet dies, dass die Gruppe 𝔖6 der 6!=720 Permutationen (möglichen Umstellungen) der Tische von links und von rechts auf R64;4 operiert. Lösungen, die bis auf Anordnung der Tische gleich sind, wollen wir als äquivalent betrachten.

In welche Äquivalenzklassen (Orbits) zerfällt die Menge R64;4 bezüglich dieser Relation?

Auch dies lässt sich rechnerisch ermitteln: ich habe es hier getan. Das Ergebnis:

  1. Orbit mit 1350 Elementen
  2. Orbit mit 16200 Elementen
  3. Orbit mit 7200 Elementen
  4. Orbit mit 43200 Elementen

Hier sind Repräsentanten für die vier Orbits, wobei ich jeweils eine symmetrische Matrix als Repräsentant gewählt habe:

Da die Umordnung der Tische in jedem Schritt keine "neue" Lösung generiert, kann man sich nun darauf beschränken, für jeden Übergang von einer Runde zur nächsten genau eine aus diesen vier konkreten Relationen zugrundezulegen. Man hat damit eine Vorschrift, an welchen Tischen die Spieler eines Tischs in der nächsten Runde gelangen, wobei automatisch sichergestellt ist, dass keine zwei Spieler desselben Tischs wieder an einem Tisch landen - denn die vier Spieler eines Tischs der neuen Runde kommen ja immer auch von vier verschiedenen Tischen der vorherigen Runde. Ob die Spieler allerdings in irgendwelchen davor liegenden Runden gegeneinander spielten, kann man damit natürlich nicht ausschliessen.

Es gibt nun noch einen weiteren Freiheitsgrad: man kann nicht nur für den Übergang von einer Runde zur nächsten eine der vier o.a. Relationen verwenden, sondern darüberhinaus auch die vier Spieler, die an einem Tisch landen, beliebig permutieren. Das scheint auf den ersten Blick genauso irrelevant wie das Umordnen der Tische - ist es aber nicht: denn die Reihenfolge der Spieler am Tisch entscheidet darüber, an welchen vier Folgetischen sie jeweils landen (wenn die Konvention ist, dass der erste Spieler des Tischs am am weitesten links liegenden Tisch landet, zu dem sein Tisch in Relation steht, der zweite dann am zweiten usw. - dies nur, um für die (4,4)-Relationen eine eindeutige Vorschrift für den Übergang zur nächsten Runde einzurichten). Da wir an jedem Tisch eine solche Permutation vornehmen können, haben wir weitere (4!)6 = 191'102'976 Möglichkeiten pro Runde.

Das ist immer noch gewaltig viel, möchte man meinen – zumal sich die Möglichkeiten ja pro Runde multiplizieren müssten. Nun fallen aber viele Möglichkeiten weg – die meisten Spielpläne verletzen die Anforderung, dass keine Wiederbegegnung mit Spielern aus früheren Runden stattfinden darf: diese brauchen dann natürlich auch nicht mehr fortgesetzt zu werden. Ebenso gibt es terminale, nicht mehr erweiterbaren Spielpläne, bei denen jede mögliche nächste Runde zu Wiederbegegnungen führt.

Diese Überlegung gab mir Anlaß zu einem Backtracking-Verfahren: ich versuche, einen bereits bis zu einer bestimmten Runde aufgebauten Plan weiter zu ergänzen, indem ich die Tischpermutationen und die Übergangsmatrizen der Reihe nach anwende und schaue, ob eine begegnungsfreie Runde entstanden ist. Wenn ja, versuche ich, noch weiter fortzufahren (also weitere Runden anzufügen). Wenn nein, melde ich den bis dahin aufgebauten Spielplan als "terminalen" (nicht mehr erweiterbaren) Spielplan an das Hauptprogramm und setze dann auf der letzten Runde auf, um weitere Kombinationen zu finden (pro Runde habe ich mir den "Zustand" gemerkt: den aktuell verwendeten Vektor von sechs Permutationen, und die aktuell verwendete Übergangsmatrix).

Hier ist eine terminale Lösung mit fünf Runden – zugleich der Beweis für M≥5 (ich habe die Tischanordnungsfreiheit noch genutzt, um die Spieler 1 bis 4 ab der zweiten Runde an den Tischen 1 bis 4 sitzen zu lassen):

Der Algorithmus ist alle Möglichkeiten durchgegangen und hat keine Spielpläne mit mehr als fünf Runden gefunden. Das ist der Computerbeweis für M=5.

Wer es selbst überprüfen möchte (ich finde zwar keinen Fehler im Algorithmus, aber Menschen machen Fehler): der Algorithmus ist hier als Worker implementiert und wird von der Webseite http://ruediger-plantiko.net/jass/ aufgerufen.

Sonntag, 23. Oktober 2016

Preist ihn, alle Völker!

Die Israelreise, die ich mit meinem Sohn im Sommer 2015 unternommen habe, hat sich mir (und auch meinem Sohn) tief eingeprägt. Ein besonders starker Eindruck - unter den vielen wertvollen - waren mir meine Empfindungen bei Betrachtung der Galerie im Innenhof der Verkündigungsbasilika in Nazareth, die also zu Ehren der Erwählung von Maria als Mutter des inkarnierten Gottes erbaut wurde. Eine Erwählung, die sie in Demut, aber auch in vollem Bewusstsein der Größe dieses Ereignisses für die gesamte Menschheit annahm: "Von nun an werden mich selig preisen alle Geschlechter."

Die Galerie zeigt nun, Nation für Nation, Bilder, die diesen Moment würdigen. Diese Bilder drücken sehr schön die einzelnen Volksseelen aus, das Wesenhafte, das jedem dieser einzelnen Völker eignet. Jedes Volk preist diesen Moment auf seine ganz besondere Weise. Sie alle porträtieren die Maria in einer Weise, die ihre Art ausdrückt, sich dem Ideal anzunähern.

Nur als ein Beispiel für diese vielen Wesensarten bringe ich ohne Kommentar hier das Bild der Spanier.

Ich finde es anrührend, sich das zu vergegenwärtigen: die Völker haben ihre ganz besondere Weise zu sein, die sich über die Generationen entwickelt hat, ihr kostbares Eigenes. Und aus diesem Eigenen heraus richten sie ihren Blick hinauf - zu Gott. So hat jedes Volk sein positives, sein verehrungswürdiges Moment, seinen ganz spezifischen Beitrag zum Ganzen.

Die Frage "Was ist denn dieses Volkswesen?" können wir nicht so einfach beantworten, wie wir zum Beispiel die Frage nach irgendeinem Ding dieser Welt beantworten können (etwa: ist Australien eine Insel?). Das ist aber nicht besonders verwunderlich. Wir können ja nicht einmal die Frage nach dem Wesen eines einzelnen Menschen befriedigend beantworten. Auch wenn wir einen intuitiven Begriff von ihm haben und selbstverständlich seine Existenz als ganz besonderes, einzigartiges Geschöpf anerkennen: der ganz konkrete Mensch, wie er vor uns steht, läßt sich wesenhaft nicht erschöpfend beschreiben. Um wieviel hoffnungsloser ist diese Frage dann für Menschengruppen, für Völker. Für den Gläubigen urständet eine Menschenseele ebenso wie eine Volksseele in der spirituellen Welt. Natürlich ist sie real - aber auf eine tiefere Weise, als es unser gewöhnlicher, an den Dingen dieser Welt geschulter Verstand fassen kann. Die katholische Tradition wußte noch vom Engel eines Volkes (Anthroposophen würden verbessern: nein, Erzengel!), der dessen Schicksal impulsiert, anleitet, auf seinem Weg durch die Zeiten begleitet und der in besonderer Weise mit der Essenz seines Volkes verbunden ist.

Der Psalm 117 (Vulgata: 116), mit nur zwei Versen der kürzeste Psalm, ja das kürzeste Kapitel der gesamten Bibel, drückt den Gedanken der vielen Völker, die um den Altar des Höchsten versammelt sind, sehr schön aus:

Interessante Nebenbemerkung, dass hier in einem typisch orientalischen Parallelismus zweimal das Gleiche mit leicht unterschiedlichen Wörtern gesagt wird: die goyim (Völker) loben den Herrn, und die ha'umim (Völker) preisen ihn. Zwar haben die beiden Wörter für "Volk" leicht unterschiedliche Bedeutungswolken – das erste (goyim) wird in der Bibel oft, aber nicht immer, auf die Fremdvölker der Ungläubigen verengt. Aber schon in einer der ersten Verwendungen, in Exodus 19,6, verheißt Gott den Israeliten, "ein Königreich von Priestern und ein heiliges Volk" (goy kadosch) zu sein.

So zelebriere ich Multikulti: nicht die Abschaffung der Grenzen und die allgemeine Völkerwanderung schafft das Multikulturelle, sondern wir haben bereits das Multikulturelle: es ist die Bejahung der gewordenen Traditionsströme - in ihren Räumen und mit ihren besonderen Menschengruppen, in denen sich dieses Spezifische jeweils zubereitet hat und weiter entwickelt.

Auf Twitter würdigte jemand zu Recht den folgenden kurzen Gesang der russischen Nationalhymne als die letzte Bastion des Volkszusammenhaltes, von der - wie von Familie und Religion - noch ernsthafter und entschiedener Widerstand gegen das Globalisierungsprojekt der Eliten kommt.

Er hat recht: mit Mätzchen wie Wirtschaftssanktionen kann man diesem Geist nicht beikommen - im Gegenteil, es wird ihn weiter stärken. Sicher ist das nicht so ein spontanes Singen gewesen, wie es auf den ersten Blick scheint: denn die Russen mögen ihr Volk lieben, aber sie tragen deswegen trotzdem nicht die ganze Zeit Russlandfähnchen mit sich herum. Es sieht eher wie ein Flashmob aus. Wie auch immer - die Vorführung überzeugt.

Tatsächlich ist die russische Hymne ein beeindruckendes Zeugnis für diese edle, dem Ideal zugewandte Seite des Völkischen, die die höchsten Willenskräfte jedes einzelnen ansprechen kann, der diesem Volk entstammt und der sich den Erhalt und die Weiterentwicklung dieses Eigenen zur persönlichen Aufgabe gemacht hat.

Nachdem ein anderer Twitterer auf die dunklen Seiten der Völker hinwies – in diesem Fall der USA – erinnerte der ThinkPunk, dass – bei allen Schattenseiten der gegenwärtigen Politik – auch dieser Hymne etwas Großes und Besonderes zugrundeliegt, das es zu zelebrieren gilt.

Natürlich gilt es wie bei uns zu fragen: entspricht diese dunkle Seite der US-Politik mit ihrem zerstörerischen Interventionismus überhaupt der Volkseigenart, dem Wesen des Volkes, wie es sich zum Beispiel in seinen Hymnen ausdrückt? Die Frage stellt sich umso drängender, wenn ein Gauck zum Beispiel ganz unverhohlen ausspricht, dass er nicht die Eliten, sondern die Völker als das gegenwärtige Problem ansieht.

Jedenfalls hat das Ideale der USA seine Berechtigung und ist zu würdigen, so wie jedes andere Volk sein Ideales pflegen und würdigen sollte. Der Blogger Angel Millar ("People of Shambhala") versucht in dem sehr lesenswerten Artikel American Dasein, the USA and deep identity in the multipolar world, sich dem Wesenhaften der USA, dem Guten der USA, in seinen Grundzügen anzunähern.

In diesem Kontext gesehen, haben wir Deutsche natürlich die Aufgabe, unsere eigene historische Besonderheit, die Mission unserer Volksseele zu erspüren. Wie kann dieses Besondere der Deutschen, das ideale Besondere der Deutschen denn verstanden werden? (Und von Richtern und Henkern will ich nichts hören, wenn ich nach dem idealen Volkswesen frage – finsterste Abgründe tun sich bei allen Völkern auf.)

Da ist zunächst die Hymne – die erste Strophe Deutschland, Deutschland über alles, daß man also sein eigenes Volk mehr liebt als die anderen Völker der Welt, ist zunächst nicht besonders spektakulär: so wird auch ein Kind seine eigene Mutter mehr lieben als alle andern Mütter dieser Welt, und dieser Vergleich ist sehr eng, denn Völker sind Herkunftsgemeinschaften (mit einer historisch-kulturellen und einer biologischen Komponente).

Die heute führende dritte Strophe Einigkeit und Recht und Freiheit für das deutsche Vaterland hat dagegen eine herausragende Bedeutung, denn sie vermittelt zwischen dem kollektiven Ideal (Einigkeit) und dem Freiheitsideal durch das Recht, genauer: die Rechtsstaatlichkeit. Die beiden im Extrem unguten Stimmungen: des Aufgehens in der Masse einerseits und des Rufes nach absoluter individueller Selbstbestimmung andererseits werden versöhnt im Recht. Das Recht schützt die Freiheit und lebt von der Einigkeit. Das Recht - und damit die Freiheit - könnte auf Dauer nicht existieren ohne die freiwillige Leistung der Menschen, sich gemeinsam als ein Volk zu fühlen. Denn ohne Demos, ohne Volk, entartet auch die Demokratie zu einer Karikatur (nämlich zum Lobbyismus: jede Teilgruppe kämpft für ihre Interessen, ohne daß ein gemeinsames Höheres gesehen wird, dem sich alle verpflichtet fühlen). Allein schon in diesem Vers drückt sich der deutsche Wunsch nach der Mitte aus, in der man das Wesentliche zu finden hofft.

Nicht nur geographisch ist der Begriff "Mitte Europas" zu verstehen – er steht auch für ein den Extremen abholdes, vermittelndes Element, und für die Frage nach dem Wesentlichen in all dem flackernden Hin- und Hergewoge um uns herum, die berühmte deutsche Innerlichkeit. Das ideale Deutsche, das wesenhaft Deutsche wird besonders gut durch die Figur des Faust porträtiert, der "weit entfernt von allem Schein / nur in der Wesen Tiefe trachtet."

Diese deutsche Suche nach einem überdauernden Sinn, nach der Gewissheit spendenden, aus der eigenen Wesenstiefe bejahten Überzeugung, birgt eine gewaltige Kraft. Wenn sich diese Überzeugung einmal Bahn bricht, ist sie von einer großen Kraft und verleiht eine gewaltige, kaum überwindbare Wehrhaftigkeit. Denn vor der Wahrheit, nach der hier gesucht wird, flieht das ganze Nachtgezücht wie die Vampire vor dem Licht. "Deutsch sein heißt: eine Sache um ihrer selbst willen zu tun", hat Richard Wagner einmal gesagt. Wenn die Deutschen zu diesem Geist wieder finden, können sie auch wieder ihr Licht leuchten lassen im großen Regenbogen der Völker dieser Welt.

In der Suche nach dem geistig Wesenhaften können wir unseren Beitrag zu einem echten Multikulti leisten!

Dienstag, 13. September 2016

Trendumkehr in Datenreihen

Es muss auch kurze Blogposts geben! Nach meinem jüngsten Blog-Exzess über Dominanzrelationen folgt hier ein Beitrag über ein vor längerer Zeit von Gerhard Lukert ersonnenes Verfahren, um Trendumkehrpunkte in Datenreihen zu ermitteln.

Es gibt Zahlenfolgen, die, wie die Börsenkurse an aufeinanderfolgenden Börsentagen, durch ihre Irregularität gekennzeichnet sind. Und zugleich kann man nach zugrundeliegenden Mustern, nach Trends, nach irgendwie um diese Irregularität "bereinigten" Informationen fragen. Im Fall der Börsenkurse leben Analysten davon, mit irgendwelchen Hilfslinien oder numerischen Verfahren aus den Daten Trends vorherzusagen.

Gerhard Lukerts Fragestellung war eine astrologische: ihn interessierten Tage, die besonders von einer Wende im Wachstumsverhalten geprägt sind. Solche Tage nennt er Umkehrtage. Ein Verfahren, um solche Umkehrtage, die besonders markant die Trendwende in sich tragen, könnte nach Gerhard Lukert

eine nützliche Sache sein, weil die Umkehrtage signifikant "andere" Konstellationentypen haben müssten als die Trendfolgetage; es sind die eigentlich kritischen bzw. impulsgebenden Tage.

Sein Verfahren besteht darin, aus der ursprünglichen Zahlenfolge zwei neue Zahlenfolgen zu ermitteln – die Folgen der oberen und der unteren Umkehrpunkte, in denen sich jeweils der Trend umkehrt: bei den oberen Umkehrpunkten hören die Zahlen auf zu wachsen, bei den unteren Umkehrpunkten hören sie auf zu fallen.

Auf diese beiden Teilfolgen der oberen und unteren Umkehrpunkte kann dasselbe Verfahren jeweils noch einmal angewendet werden. Dabei ergeben sich vier neue Teilfolgen. Da ihn nur ein besonders reiner Ausdruck der Trendumkehr interessiert, behält er nur die oberen Umkehrpunkte der oberen und die unteren Umkehrpunkte der unteren Umkehrpunkte der vorherigen Iteration, so dass er auch in diesem Schritt mit zwei Teilfolgen verbleibt. Bei jedem Schritt dünnen sich die Folgen weiter aus, und die verbleibenden Punkte enthalten gewissermaßen besonders viel Essenz der Trendumkehr. Man verbleibt mit sehr wenigen Daten- (und damit in der Regel Zeit-)Punkten, die die Qualität dieser Umkehr besonders gut ausdrücken.

Auf der Webseite http://ruediger-plantiko.net/filter/ kann man das Verfahren ausprobieren. Die Eingabe der Zahlenreihe kann aus einer Textdatei erfolgen oder über die Zwischenablage in das Eingabefeld. Mit dem Doppelkreuz # werden Kommentare eingeleitet, die beim Einlesen ignoriert werden, sie können auch am Ende einer Zeile stehen. Auch Leerzeilen werden ignoriert. Am Beginn der Zeile muss eine Zahl stehen, die von JavaScript als Zahl erkannt werden kann. Danach kann, von Leerzeichen oder einem Semikolon getrennt, ein Bezeichner folgen, der dann auch im Graphen angezeigt wird. Enthalten die Zeilen nur eine Zahl, so wird die Zeilennummer als Bezeichner verwendet.

Mit Daten auswerten, oder den Buttons ◀ und ▶ zum Fortsetzen der Iterationen, können die Umkehrpunkte ermittelt und in einem Graphen zusammen mit der ursprünglichen Zahlenfolge angezeigt werden.

Die Anzeige des Graphen erfolgt mit c3.js, einem auf Graphen spezialisierten Zusatz zu der bekannten Bibliothek d3.js für Data Driven Documents.

Hier ein Screenshot nach Datenauswertung:

Hier noch ein paar Bemerkungen zur Implementierung (in filter.js). Beim Parsen der Eingabe werden zunächst die Kommentare und Leerzeilen entfernt. Danach wird aus jeder Datenzeile eine Zahl und ein nachfolgender Bezeichner eingelesen. Zusammen mit dem zur eindeutigen Benennung vorangestellten Index wird so ein Array von Arrays (AoA) erzeugt, wobei jedem Folgenelement ein vierelementiges Array zugeordnet ist: das erste Element erhält den Index, das zweite Element den Zahlenwert, das dritte den Bezeichner und das vierte das Wachstumsverhalten als Signum (also mit den Werten -1, 0 oder 1) im Vergleich zum Vorgänger.

  function parseInput( stream ) {
    const DATA_PATTERN = /^([-+.eE\d]+)(?:\s*|;)(.*)/;
    const COMMENT_PATTERN = /\s*#.*$/;
    var series = [];
    stream.split('\n').forEach( function(line,i) {
      try {
        line = line.replace(COMMENT_PATTERN,"");
        if (!line.match(/\S/)) return; // Leerzeilen überspringen
        var pair = parseLine(line,i);
        series.push( [ series.length, pair[0], pair[1] ] );
      } catch (e) {
        e.message += " (Zeile "+(i+1)+": '"+line+"')";
        throw e;
      }
    });
    return series.map( appendGrowth );

    function parseLine( line, i ) {
      var m = line.match(DATA_PATTERN);
      if (m === null || m.length === 0) {
        throw new Error("Zeile muss mit einer Zahl beginnen");
      }
      checkNumeric( m[1] );
      return [ 1*m[1], m[2] || '#'+(i+1) ]
    }

  }
Hier ermittelt appendGrowth das Signum der Datenänderung im Vergleich zum Vorgänger. Stimmt der Wert des Vorgängers mit dem aktuellen Wert überein, wird weiter zurückgeschaut, bis man einen echt größeren oder echt kleineren Wert gefunden hat. Die Funktionsschnittstelle entspricht dabei der Schnittstelle von Array-Iteratorfunktionen wie map, so dass dieses Signum mit dem Aufruf .map( appendGrowth ) den (vorher nur dreielementigen) Daten-Arrays hinzugefügt werden kann.
  function appendGrowth(data,i,total) {

    return data.concat( getGrowth( ) );

// Der Wert ist immer -1, 0 oder +1 
    function getGrowth( ) {
      var sign = 0;
// Zurückspulen, bis ein echtes Zu- oder Abnehmen gefunden wurde
      for (let j=i-1;j>=0&&sign===0;j--) {
        sign = Math.sign( data[1] - total[j][1] );
      }
      return sign;
    }
  }
Die zentrale Funktion getTurningPoints ermittelt aus einer Zahlenfolge series die Folge ihrer Umkehrpunkte, und zwar je nach Funktion condition die Folge der oberen oder der unteren Umkehrpunkte. Hierzu wird, wie man vom Namen erwarten könnte, die JavaScript-Funktion Array.prototype.filter verwendet. Die Elemente der entstehenden Teilmenge, die ja vierelementige Arrays sind, werden dann kopiert, das das vierte Element, das Wachstumsverhalten, für jede Reihe neu ermittelt werden muss.
  function getTurningPoints(series,condition) {

    var newSeries = 
          series
            .filter( conditionSatisfied )
            .map( copy )
            .map( appendGrowth );
    return newSeries;

// Auf Umkehrpunkt prüfen (bis zum vorletzten Datenpunkt möglich)
    function conditionSatisfied(data, i) {
      return (i < series.length - 1) &&
             condition(data[3],series[i+1][3])
    }

// Kopie der ersten drei Elemente
    function copy(data) {
      return data.slice(0,3);  
    }

  }
Aus dieser Funktion resultieren die Funktionen getUpperTurningPoints und getLowerTurningPoints, die sich nur durch die verwendete condition beim Aufruf von getTurningPoints unterscheiden:
  function getUpperTurningPoints(series) {
    return getTurningPoints( series, stopsIncreasing );
  }

  function getLowerTurningPoints(series) {
    return getTurningPoints( series, stopsDecreasing );
  }

  function stopsIncreasing(currentGrowth,nextGrowth) {
    return (currentGrowth>0) && (nextGrowth<0);
  }

  function stopsDecreasing(currentGrowth,nextGrowth) {
    return (currentGrowth<0) && (nextGrowth>0);
  }

Sonntag, 4. September 2016

Zu Dir hin hast Du uns geschaffen

Im heutigen Evangelium (Lk 14,26-27) heisst es:
So jemand zu mir kommt und hasset nicht seinen Vater, Mutter, Weib, Kind, Brüder, Schwester, auch dazu sein eigenes Leben, der kann nicht mein Jünger sein. Und wer nicht sein Kreuz trägt und mir nachfolgt, der kann nicht mein Jünger sein.
Wie schroff, ja brutal! Sich und die Seinen hassen? Das ist doch Hate Speech! Da müssen wir etwas machen!

Die moderne Einheitsübersetzung versucht den heutigen Leser zu besänftigen, indem sie das harte hasset durch gering achtet ersetzt. Ich bleibe bei hasset, denn erstens steht es im Original (griechisch μισεῖ, in der Vulgata steht da odit, die Sachlage ist eindeutig), und zweitens ist hier eine emotionale Beteiligung gemeint, die weit über ein blosses "Geringachten" hinausgeht. Wenn das anstössig ist – dann sei es eben so.

Wie ist das zu verstehen? Verstösst diese Aufforderung nicht direkt gegen das vierte Gebot Du sollst deinen Vater und deine Mutter ehren? Ganz sicher nicht! Es sagt nur, dass es einen Ruf gibt, der noch stärker sein muss als der Ruf der Welt mit ihrer horizontalen Eigengesetzlichkeit, in die wir eingebettet sind, ja die unsere Identität in dieser Welt ausmacht. Wir stehen in dem Strom von Tradition und Fortschritt, in der Kette von Ahnen und Nachfahren, in dem besonderen geschichtlichen Sein unseres Volkes und unserer Rasse, und all diesem sind wir verpflichtet - aber all dies hat kein Recht, uns von unserem transzendenten Quell wegzuziehen. Man muss Gott mehr gehorchen als den Menschen, sagte es einer von Jesu grössten Schülern zu späterer Gelegenheit. All das Horizontale, das in dieser Welt Weiterwachsende, hat natürlich seine Berechtigung, aber es stillt nicht unseren metaphysischen Durst. Das Wasser des Lebens strömt nicht aus diesen Quellen.

Wie der Hirsch nach dem Wasser der Quelle dürstet, so dürstet meine Seele nach Dir, Herr, singt, ruft verzweifelt, ja weint der Psalmist. Es ist das Verlangen nach dem Wasser, das den Durst auf ewig stillt. Wer kann dieses Sehnsuchts- und Klagelied lesen und unberührt davon bleiben?

Wie der Hirsch schreit nach frischem Wasser, so schreit meine Seele, Gott, zu dir.
Meine Seele dürstet nach Gott, nach dem lebendigen Gott. Wann werde ich dahin kommen, dass ich Gottes Angesicht schaue?
Meine Tränen sind meine Speise Tag und Nacht, weil man täglich zu mir sagt: Wo ist nun dein Gott?
Wenn ich des innewerde, so schütte ich mein Herz aus bei mir selbst; denn ich wollte gerne hingehen mit dem Haufen und mit ihnen wallen zum Hause Gottes mit Frohlocken und Danken unter dem Haufen derer, die da feiern.
Was betrübst du dich, meine Seele, und bist so unruhig in mir?
Harre auf Gott ! denn ich werde ihm noch danken, dass er meines Angesichts Hilfe und mein Gott ist.

Die Seele, die nach diesem Wasser dürstet, das den Durst auf ewig stillt, stösst Vater und Mutter, Frau und Kinder, Brüder und Schwestern unwirsch weg, wenn diese sie davon abhalten wollen.

Dies ist der "Hass", der im Wort Jesu gemeint ist. Er gilt dieser Welt, die sich vor die Seele hinpflanzt und sagt: mir allein sollst Du dienen, es gibt nichts ausser mir. Oder, wenn wir die moderne Variation dieser Sonate spielen: Dir allein sollst Du dienen - Du bist Dein eigener Herr, Du bist frei, verwirkliche Dich selbst, es ist Dein Recht! Niemand hat das Recht, Dich davon abzuhalten!

All diese Stimmen - sie mögen sanft säuselnd, dem Ego schmeichelnd, oder auch den Opferdienst fordernd daherkommen - all diese Stimmen weist die Seele schroff ab, die sich nach Gott sehnt, die Gottes Liebesangebot an die erste Stelle setzt.

Nun ist, was der Versucher sagt, nie ganz falsch – er redet immer so, dass man ihm aus seiner Rede keinen Strick drehen kann: natürlich sind wir frei – und es ist etwas Grosses um diese Freiheit, da sie uns Gott ähnlich macht – und natürlich sollen wir alle Schicksalszusammenhänge freudig bejahen, in die wir gestellt sind - wir sollen aus ganzer Kraft Vater bzw. Mutter sein, den Ehepartner und die Kinder lieben, Brüder und Schwestern lieben, unser Volk lieben – aber zuallererst zieht es die Seele zu ihrem Schöpfer, vor dem sie ganz allein steht. Ohne trügerische Sicherheit, ungeborgen und ungeschützt durch irgendwelche Zusammenhänge, in denen er sich verstecken könnte, gilt jedem einzelnen ganz ausschliesslich die Ansprache, die der lebendige Gott an ihn richtet.

Und selbstverständlich gibt es hier Grade der Kraft – Abstufungen, in denen man Jesu Aufruf ernst nimmt. Ich habe nicht diejenigen zu verurteilen (wie man es aus einem "irdischen" Pflichtverständnis tun könnte), die diesen Aufruf radikal ernstgenommen und sich völlig aus den Weltzusammenhängen herausgelöst haben - in die Einsamkeit einer Einsiedlerklause oder eines Klosters gingen, um sich ganz ungestört dem Ruf Gottes zu öffnen. Hier ist es wie mit der Bergpredigt: es gibt eine Ebene, in der sie radikal ernstgenommen werden kann, zu der sich einige wenige auch berufen fühlen: die Heiligen. Ihr Leben ist fortan nicht mehr dem Gesetz der Schwerkraft unterworfen. Ihr Verhalten folgt keinen nach irdischen Maßstäben nachvollziehbaren Regeln - sie leben noch hier, aber eigentlich schon nicht mehr hier.

Aber auch die vielen, die nicht so weit gehen können oder wollen, spüren, dass sie in dieser Existenz hier nur ein Zeichen oder Gleichnis sind; sie spüren in allem den geheimnisvollen Verweis auf eine höhere Ganzheit, die nur in das irdische Sein hineinragt.

Beda Venerabilis kommentiert das Jesuswort wie folgt:

Es gibt einen Unterschied zwischen "allem entsagen" und "alles verlassen"; denn nur wenige Vollkommene haben die Kraft, alles zu verlassen, das heisst die Sorgen dieser Welt hinter sich zu lassen. Aber es ist die Aufgabe aller Gläubigen, allem zu entsagen, das heisst die Güter dieser Welt so zu besitzen, dass sie dennoch durch sie nicht in der Welt festgehalten werden.
In einem alten indischen Weisheitstext, der Bhagavadgita, beeindruckte mich eine Stelle so, dass sie lange meine Homepage zierte:
Wer nicht der Welt verhaftet ist, frei von Selbstsucht, voller Entschlossenheit, sicher und mit ruhiger Aufrichtigkeit in der Hingabe, ohne Berauschtheit beim Erfolg, ohne sich entmutigen zu lassen beim Misserfolg — wer so handelt, wird sattva-artig genannt.
Das drückt etwas Ähnliches aus wie das Entsagen, von dem Beda spricht: es geht um ein inneres Sich-Herausziehen aus den Gesetzen dieser Welt. Ohne dabei das, was man tut, etwa nicht mehr aus ganzem Herzen und ganzer Kraft zu tun.

Die östliche Geisteswelt preist den Seelenzustand, in dem "nichts mehr anhaftet". Sie realisiert damit das, was Nietzsche später das "Frei von" nannte. Denjenigen, die die Befreiung von allem predigen – und das geht an den westlichen Liberalismus ebenso wie an diese östlichen Weisheitslehren – schleudert Zarathustra seine berühmte Frage entgegen:

Frei nennst du dich? Deinen herrschenden Gedanken will ich hören und nicht, dass du einem Joche entronnen bist.
Frei wovon? Was schiert das Zarathustra! Hell aber soll mir dein Auge künden: frei wozu?
Die Freiheit als solche, so kostbar sie ist, ist eben ein leerer Raum. Die entscheidende Frage ist, ob wir sie dazu nutzen, das in uns liegende, in uns hineinragende göttliche Gesetz zu verwirklichen.

Auf die Frage nach dem Frei wozu? hüllen sich die östlichen Weisheitslehrer in lächelndes Schweigen. Aber unsere christlichen, westlichen Weisheitslehrer geben uns genau auf diese Frage Auskunft - zum Beispiel Augustinus von Hippo (354-430):

Groß bist du, Herr, und über alles Lob erhaben. Und da will der Mensch dich preisen, dieser winzige Teil deiner Schöpfung. Du selbst regst ihn dazu an; denn du hast uns zu dir hin geschaffen, und unruhig ist unser Herz, bis es ruht in dir.

Sonntag, 31. Juli 2016

Reise eines Plantikos nach Plantikow

Schon immer hatte es mich aus reiner Neugierde gereizt, mir einmal das kleine pommersche Dorf Plantikow anzusehen, das seit 1945 Błądkowo heißt und – wie der größere Teil Pommerns – heute zu Polen gehört. Wie mein Name nahelegt, stammen meine Vorfahren aus diesem Örtchen – mein Ur-Urgroßvater Plantikow wirkte hier als Pfarrer, genau so wie eine Reihe seiner Vorväter. Heute findet man Plantikows und Plantikos überall auf der Welt. In Deutschland listet telefonbuch.de sieben Plantikos und 66 Plantikows auf, die Zahlen können wir wohl mit einem Faktor drei oder vier multiplizieren (für nicht Verzeichnete und Familienangehörige).

Was ist Plantikow für ein Ort? Wie fühlt es sich an, als Nachfahre auf einem Boden zu stehen, auf dem schon Vorfahren vor Jahrhunderten wandelten? Gibt es einen genius loci – ein Fluidum, das dem Ort anhaftet und für das man sich empfänglich machen kann? Selbst dann, wenn die Bevölkerung mittlerweile vollständig ausgetauscht wurde und somit heute den polnischen Nationalcharakter atmet?

Um meine Neugierde zu stillen, machte ich mich in diesem Sommer auf zu einer Erkundung der Gegend.

Plantikow ist mit seinen knapp 200 Einwohnern etwas größer als ein Weiler, hat aber eine lange Geschichte und wurde urkundlich schon 1269 erwähnt. Das nächstgelegene Städtchen ist Daber (Dobra) mit immerhin schon über 2000 Einwohnern. Den Namen Daber trägt auch ein winziges Bächlein, das durch Plantikow fließt. Hier kann man es fließen sehen:

Plantikow wurde früher - wie in bäuerlichen Gegenden üblich - als Gut von einer Familiendynastie verwaltet, belegt ist seine Übergabe als Rittergut durch Kaiser Karl IV. (1316-1378) an den Grafen Ulrich von Dewitz (1323−1363). Die längste Zeit seiner Geschichte entstammten Plantikows Gutsherren ebendiesem Adelsgeschlecht der Dewitz.

Im Wikipedia-Artikel zu Pommern ist nachzulesen, dass es ursprünglich von westgermanischen Rugiern und Goten besiedelt wurde, im Zuge der Völkerwanderung rückten dann ab dem Ende des 5. Jahrhunderts auch slawische Stämme nach. Dänen, Polen und das Heilige Römische Reich kämpften um die Vorherrschaft über Pommern. Nach polnischer Unterwerfung durch Herzog Bolesław III. Schiefmund (1116-1121) und einem kurzen Gastspiel unter dänischer Herrschaft ging Pommern in der Schlacht bei Bornhöved (1227) endgültig an das Deutsche Reich über, dem es dann über sieben Jahrhunderte - bis 1945 - angehörte. Die Nachkriegsgeschichte ist bekannt: die in Pommern wohnenden Deutschen wurden vertrieben und durch Polen ausgetauscht, dies geschah auch unter Druck der Sowjetunion, die den ganzen polnischen Staat nach Westen verschob, um sich selbst nach Europa hin zu vergrößern.

Stettin ist die in der ganzen westpommerschen Region dominierende Stadt, was Einwohner und Wirtschaftskraft betrifft. Die klassische Definition zieht die Oder als Grenzfluß zwischen Vor- und Hinterpommern. Die polnische Grenze verläuft jedoch westlich von Stettin, so daß heute die gesamte Stadt der Wojwodschaft Westpommern zugerechnet wird, dem historischen Hinterpommern. Wenn man vom Westen kommend (z.B. Berlin) auf der A11 nach Osten Richtung Danzig fährt, überquert man bei Stettin die Grenze; ab dort wird diese Autobahn als A6 weitergeführt (immer noch die Europastraße E28), in Gollnow (Goleniów, 20'000 Ew.) spaltet sich diese einerseits in die S3, die nordwärts bis zur Insel Wolin am riesigen Stettiner Haff führt - da ist man bei Swinemünde schon fast wieder in Deutschland (westlich der Grenze kommt man dann zur Insel Usedom und nach Heringsdorf), und andererseits in die S6, die die Europastraße E28 dann über Köslin (Koszalin) bis nach Danzig weiterführt.

In der Anreisenacht verpasste ich die Abzweigung in Gollnow und fuhr weiter bis nach Wolin, wo mich (nachdem ich bei jeder Ausfahrt vergeblich nach "Nowogard" gespäht hatte) das viele Wasser um mich herum endlich davon überzeugte, dass ich mich verfahren haben musste. So kam ich eine Stunde später als geplant in Nowogard an und mußte den Portier des schönen und preisgünstigen Hotels Willa Zbyszko aus dem Bett klingeln. Er kam im Nachthemd und sehr verschlafen, aber freundlich heraus.

Die Stadt Naugard / Nowogard liegt an einem schönen See, eben dem "Jezioro Nowogardzkie", den ich in einer vielleicht einstündigen Wanderung umrundete.

Die Stadt selbst beeindruckt mit ihrer steil zum Himmel ragenden Marienkirche im gotischen Stil (erbaut im 14. Jahrhundert).

Nun aber ging es nach Plantikow!

Es ist eine Ansammlung einiger Häuser, hauptsächlich Bauernhöfe, die an der Straße von Ostrzyca nach Dobra liegt. Die Straße macht mitten in Plantikow einen Knick. An diesem Knick liegt der Dorfkern, gerade dort, wo die Dobra unter der Straße durchgeführt wird. Man findet einen kleinen Spielplatz und ein schön gepflegtes Blumenbeet,
vor allem aber die traurig stimmende Ruine der ehemaligen Dorfkirche, die von einem Storchennest geziert wird:
Auf einer kleinen Erinnerungstafel nahe der Kirche hat ein Geschichtsfreund einige uralte Ansichtskarten von Plantikow ausgestellt.

Auf dieser kann man sehen, wie die Kirche zu besseren Zeiten einmal ausgesehen hat:

Interessant ist auch diese hier, denn sie zeigt auch einen Dorfteich, von dem jedoch heute nichts mehr übrig ist:
Den Ortsausgang Richtung Dobra ziert dann wieder ein liebevoll geschmücktes Kruzifix:
An den Bauernhöfen prangt immer stolz ein Schild mit EU-Sternenkranz und einer polnischen Inschrift, auf dem folgenden Foto kann man es gerade noch erkennen. Es muß sich um EU-Gelder handeln, die im Rahmen eines Subventionsprogramms an die polnischen Landwirte verteilt werden. Die EU-Loyalität, die man sich aufgrund dieser Zahlungen erhofft, bleibt aber zurückhaltend. Die Polen haben ein gesundes Nationalgefühl und spüren, wenn es der nationalen Souveränität an den Kragen geht. Wer kann es ihnen verübeln, daß sie zu den Subventionen dennoch nicht Nein sagen.
Mein Vater wußte von einem nahe Plantikow gelegenen See - dem Plantikow-See. Der Dorfteich aus der Ansichtskarte wird es wohl nicht gewesen sein. Eine erste Umrundung des Dorfes brachte auch keine Ergebnisse. Überall nur Felder, die gerade gemäht wurden, und Weiden.
Natürlich gab es kleinere Gewässer, die aber niemals ein See gewesen sein können – wie dieses hier:
Vom Dorfkern aus ging allerdings nach Süden ein Waldstückchen aus, das aber von keiner Seite begehbar schien. Am Abend konsultierte ich Google Earth – und mitten in diesem offenbar nicht begehbaren Wald war tatsächlich etwas, das ein See sein könnte!
So machte ich mich am nächsten Tag noch einmal auf (unter den nachvollziehbar mißtrauischen Augen einiger Dorfbewohner, denen ich mich aber weder auf Deutsch noch auf Englisch verständlich machen konnte – und hätte ich es machen können, hätten sie mich vermutlich für irre gehalten), wanderte zuerst am Ortsausgang Richtung Dobra den südwärtigen Feldweg herunter und schlug mich dann ins Dickicht. Der Wald war wirklich unerschlossen, außer Tieren wird hier lange niemand durchgegangen sein. Die Mücken waren meine Begleiter, und ich mußte an ihren Gesang in Marguerite Lobecks Sommerspiel denken, deren Aufführung ich kürzlich wieder genießen durfte:
Wir Mücken entschweben
den Grüften und leben
in Lüften,
um uns zu entzücken
im Glanze der Sonne,
im Tanze voll Wonne.
Wir Mücken sind Geister,
erkoren vom Meister
um Toren, die überall Lücken
und Schwächen entdecken, zu stechen,
zu necken!
Immer mehr Libellen und Frösche zeigten mir, daß ich auf dem richtigen Weg zum Wasser war. Es mußte doch diesen See geben! Irgendwann stieß ich auf das Dobra-Bächlein und folgte ihm nordwärts. Der Himmel zog sich zu, es ging nun in den Abend hinein. Ein paar Tröpfchen kamen vom Himmel.

Schließlich stieß ich auf die Wasserflächen!

Der Wald gab eine erste kleine Lichtung frei, über die sich ein fast zugewachsener See erstreckte:

Während ich weiterwanderte, kam auch von oben mehr Nässe - als wären meine Rufe nach dem Wasser sehr gründlich erhört worden. Und da offenbarte sich schon ein zweiter See. Er enthielt noch mehr offene Wasserfläche als der erste.

Der Regen beharrte auf seinem Recht beachtet zu werden und erhöhte nun seine Intensität. Er wuchs sich zu einem dieser vollen, kräftigen Gewitterregen aus, mit denen wir in diesem Sommer oft beglückt werden. Es dauerte nicht lange, bis die Bäume des Waldes mich nicht mehr vor ihm schützten. Ich wurde komplett durchnäßt.

Als ich das Waldstück verließ, war es schon spät geworden. Die Sonne schickte sich an unterzugehen, und Błądkowo hatte ich nicht mehr in Sicht. Eilig trat ich den Rückweg ins Dorf an und beendete meinen Tagesausflug.

Ob es einen Plantikow-See gibt, ob ich wirklich den Fragmenten eines solchen Sees begegnet bin, kann ich nicht mit Sicherheit sagen. Ein schönes, intensives Naturerlebnis war mein kleiner Waldgang allemal. Es ist immer wieder erstaunlich, wie schnell man bei ganz urtümlichen Stimmungen landet, sobald man sich auch nur ein bißchen von den ausgetretenen Wegen und den urbar gemachten, besiedelten und bewirtschafteten Gebieten entfernt.

Zur Eingangsfrage nach dem genius loci: ich habe nichts gespürt: keinen Hauch, kein Fluidum, keinen Schauer – nichts, was irgendwie einem Déjà-vu ähnlich war. Und eigentlich ist das auch klar: Die Ahnen haben mir den Boden bereitet, aber sie sind nicht mehr da. Was da ist, sind nur noch Überreste ihres Schaffens. So wie die Einwohner Plantikows nach dem Krieg flohen und die, die den Treck verpaßt hatten, vertrieben wurden, so haben auch die Ahnen die Form verlassen, in der sie gelebt und gewirkt haben. Auch ihre körperlichen Überreste, ihre Gebeine, ihr Staub oder was immer von ihnen übrig ist, sind ja verlassen: es wäre nichts an ihnen, das ein Déjà-vu-Erlebnis auslösen würde. Auf dem, was sie ihren Nachfahren weitergereicht haben, gründet meine Existenz. Das ist alles.

Donnerstag, 21. Juli 2016

Jenseits von Schere, Stein und Papier

Eine Relation "ist stärker als" modellieren

Vor kurzem stellte sich ein Lernender in der Programmierkunst die Aufgabe, ein Spiel ähnlich dem bekannten Schere, Stein, Papier! zu entwickeln: der Spieler wählt eine "Waffe", danach wählt die Maschine mittels Zufallsgenerator eine. Die Maschine prüft dann, welche Waffe "stärker" ist und gibt aus, wer gewonnen hat.

Die Menge der Waffen abzubilden, war einfach: er entschied sich für einen Array, der einfach eine Liste der verfügbaren Waffen in Form von Strings enthielt:
var weapons = ["pistol","bomb","knife"];
Wie aber sollte er nun - und das war die Frage, mit der er sich ans Forum wandte - die Funktion definieren, die ihm liefert, welche Waffe stärker ist als welche?
function isStronger(weapon1,weapon2) {
  // ???
}
Die Relation "ist stärker als", die er sich dabei als Beispiel gewählt hat, hatte er durch bomb > knife, knife > pistol, pistol > bomb definiert (wie er diese Relation begründen mag, ist ein anderes Thema: siegt die Pistole über die Bombe, weil der treffsichere Pistolero rechtzeitig den Zünder kaputtschießt? Und das Messer siegt über die Pistole, weil der Kämpfer es schneller parat hat? Die Begründungen des klassischen "Stein-Papier-Schere"-Spiels kommen mir da plausibler vor - aber darum geht es hier nicht).

Die von ihm gewählte Relation gehört zu denen, in denen das Spiel überhaupt sinnvoll ist, da es keine stärkste Waffe gibt. Jede Waffe ist unter dieser Relation stärker als eine andere und schwächer als eine andere. Gäbe es stattdessen eine stärkste Waffe, wäre das Spiel langweilig: man müßte nur diese stärkste Waffe wählen und könnte nicht mehr verlieren – allenfalls geht es unentschieden aus, wenn die Maschine (der Zufallsgenerator) dieselbe Waffe gewählt hat.

Wie also wäre die Relation mit Programmcode zu modellieren? Eine einfache Antwort wäre, die unterschiedlichen Fälle mit dem zu Recht unbeliebten switch/case zu programmieren:

function isStronger(weapon1,weapon2) {
  switch(weapon1) {
    case "bomb":
      switch(weapon2) {
        case "bomb":
          return false;
        case "knife":
          return true;
        case "pistol":
          return false;
        default:
          throw new Error('Unknown weapon "'+weapon2+'"')
      }
    case "knife":
      switch(weapon2) {
        case "bomb":
          return false;
        case "knife":
          return false;
        case "pistol":
          return true;
        default:
          throw new Error('Unknown weapon "'+weapon2+'"')
      }
    case "pistol":
      switch(weapon2) {
        case "bomb":
          return true;
        case "knife":
          return false;
        case "pistol":
          return false;
      default:
        throw new Error('Unknown weapon "'+weapon2+'"')
      }
    default:
      throw new Error('Unknown weapon "'+weapon1+'"')
  }
}
Dieser Code, obwohl unglaublich aufgebläht, ist immerhin korrekt, leistet das Gewünschte: er liefert für jedes mögliche Paar von Waffen die Angabe, welche stärker als welche ist.

("Aber ist das nicht das Wichtigste: dass der Code tut, was er soll?" - fragen Leute, die Clean Code und/oder The Pragmatic Programmer nicht gelesen haben...)

Obendrein enthält der Code auch ein Fehlerhandling durch Abfangen der Defaultzweige. Andererseits wird der Array weapons überhaupt nicht benötigt. Es ist alles ausprogrammiert. Die Gefahr von Tippfehlern, wenn weitere Waffen dazukommen, ist erheblich.

Eine übliche Refaktorisierung des switch/case-Statements besteht darin, statt Code eine Datenstruktur zu verwenden und die cases durch Zugriffe auf diese Datenstrukturen mit Index oder mit dem Dot-Operator zu ersetzen.

In diesem Fall könnte das so aussehen:

var isStronger = (function(){
   var stronger = {
     "bomb":{ 
       "bomb":false,
       "knife":true,
       "pistol":false
     }
     "knife":{ 
       "bomb":false,
       "knife":false,
       "pistol":true
     }
     "pistol":{ 
       "bomb":true,
       "knife":false,
       "pistol":false
     }
   }   
   return function(weapon1,weapon2) {
       return stronger[weapon1][weapon2]
   }
})();
Das hält immerhin die benötigte Information ("ist stärker als") vom eigentlichen Code getrennt.
Das Fehlerhandling, auf das es mir hier nicht ankommt, habe ich weggelassen - es wäre leicht nachzutragen: der Zugriff stronger[weapon1][weapon2] liefert den Wert undefined, wenn weapon2 nicht bekannt ist. Er löst die abzufangende Ausnahme TypeError aus, wenn weapon1 nicht bekannt ist (die durch den Zugriff auf das Member weapon2 des Wertes undefined entsteht).

Nun enthält auch dieser Code noch Redundanzen: es ist auch ausprogrammiert, dass eine Waffe nie stärker ist als sie selbst. Ausserdem genügt es offenbar anzugeben, wer stärker ist als wer. Denn aktuell ist jede Relation doppelt enthalten.

Eine Relation wie "ist stärker als" kann in Form einer Matrix modelliert werden, in der jede Zeile für den ersten und jede Spalte für den zweiten Kandidaten im Vergleich steht. Ist der Vergleich positiv, wird an dieser Stelle eine 1 notiert; ist "stärker als" nicht erfüllt, eine 0.
Man muss die Einsen in der Matrix durchgehen, um die Relation auszubuchstabieren. Wenn wir die Relation "ist stärker als" mit dem Symbol ≻ notieren und die "Waffen" durchnumerieren, so codiert die hier dargestellte Matrix also die Relation
  1 ≻ 2
  2 ≻ 3
  3 ≻ 1
Spiegelt man die Matrix an der Hauptdiagonalen, so müssen für alle Plätze außerhalb dieser Hauptdiagonalen Einsen mit Nullen vertauscht werden. Die Plätze auf der Diagonalen sind immer 0 (denn keine Waffe ist stärker als sie selbst). Um zu sagen, welche Waffe stärker als welche ist, sind also nur die Plätze oberhalb der Diagonalen beliebig mit Einsen oder Nullen zu besetzen. Das ist die einzige benötigte Information. Insbesondere gibt es 23 = 8 verschiedene Möglichkeiten, "ist stärker als" auf der Menge mit drei Waffen zu definieren.
Die Entfernung von Redundanz reduziert wieder die Gefahr von Tippfehlern und beschränkt die Information der stronger-Datenstruktur auf das Wesentliche:
var isStronger = (function(){
   var stronger = {
     "bomb":["knife"],
     "knife":["pistol"],
     "pistol":["bomb"]
     }
   }   
   return function(weapon1,weapon2) {
       return stronger[weapon1].indexOf(weapon2) >= 0
   }
})();
Da bei der hier gewählten Relation eine Waffe immer stärker als genau eine andere ist, hätte man für diese konkrete Relation statt eines Hashs of Arrays (HoA) auch dieses Wissen einfließen lassen und einen Hash of Strings wählen können:
var isStronger = (function(){
   var stronger = {
     "bomb":"knife",
     "knife":"pistol",
     "pistol":"bomb"
     }
   }   
   return function(weapon1,weapon2) {
       return stronger[weapon1] == weapon2
   }
})();
Nur ist diese Version leider nicht verallgemeinerbar: es ist absehbar, dass weitere Waffen dazukommen werden. Es ist dann, wie man leicht sehen kann, überhaupt nicht mehr möglich, ein "ist stärker als" zu definieren, in dem jede Waffe stärker als genau eine andere Waffe ist. Der Ansatz mit dem Hash of Arrays ist daher in Hinblick auf die Erweiterbarkeit vorzuziehen.
Wenn wir das konkrete Wissen einfließen lassen wollen, wäre es sowieso viel einfacher. Denn die von ihm gewählte Relation "ist stärker als" ist ja eine ringförmige Anordnung.

Es gewinnt jeweils der, der in diesem orientierten Kreis unmittelbar vor dem anderen liegt. Wenn wir den Array der weapons ins Spiel bringen, lässt sich diese Regel für ist stärker als mit dem Modulo-Operator % implementieren:
function isStronger(weapon1,weapon2) {
  var i1 = weapons.indexOf(weapon1);
  var i2 = weapons.indexOf(weapon2);
  return (3 + i1 - i2) % 3 == 2;
}
Hier steckt also das ganze Wissen um die konkrete Relation "ist stärker" nicht mehr in einer Datenstruktur, sondern in einer Formel. Wenn man die Relation ändert - oder auch nur erweitert, indem man eine neue Waffe hinzufügt, muss man sich eine neue Formel überlegen. Und um die Formel zu verstehen, muss man sie - zugegeben! - etwas gründlicher anschauen als im vorigen Beispiel die Datenstruktur. Andererseits erkennt man an der Verwendung des Modulo-Operators, dass eine zyklische Struktur zugrundeliegt. Bei der expliziten Modellierung mit der Datenstruktur sieht man das erst auf den zweiten Blick.

Klassifizierungsprobleme

Einfache Fragen verlangen oft danach, in einen größeren Zusammenhang gestellt zu werden. "Schere - Stein - Papier" wirft die Fragen auf:
  1. Wie ist überhaupt eine Relation "stärker als" rein formal zu definieren?
  2. Welche Relationen dieser Art gibt es, und wie lassen sie sich beschreiben?
In diesem Blogpost ist die erste Frage - nach dem Begriff dieser Relationen - bereits in natürlicher Sprache beantwortet. Formal können wir von einer Relation im strengen, mengentheoretischen Sinn sprechen, notieren wir sie wieder mit dem Zeichen ≻, die folgende Eigenschaften hat:
  1. Sie ist asymmetrisch, das heißt für zwei beliebige Elemente x, y gilt nie zugleich x≻y und y≻x.
  2. Sie ist total, das heißt zwei beliebige Elemente x, y stehen immer in Relation zueinander: eines von beiden ist "≻" als das andere.
Wir reden also über die asymmetrischen, totalen Relationen auf einer endlichen Menge. Solche Relationen heißen in der Literatur auch Dominanzrelationen. Die beiden Eigenschaften lassen sich zu einer einzigen zusammenfassen:
Für zwei beliebige Elemente x,y der Menge gilt immer genau eine der drei Beziehungen x=y, x≻y oder y≻x.
Solche Relationen werden gelegentlich auch Turnierrelationen genannt, weil jede Relation dem möglichen Ausgang eines Turniers von n Spielern entspricht, wobei jeder Teilnehmer einmal gegen jeden anderen Teilnehmer spielt.
Die zweite Frage ist ein typisches Klassifikationsproblem. Man könnte ja sagen: die Antwort ist: es gibt so viele Relationen dieser Art, wie es Besetzungen des oberen Dreiecks einer n×n-Matrix mit den Werten 0 oder 1 gibt. Da das obere Dreieck einer n×n-Matrix n(n-1)/2 Plätze hat, gibt es also 2n(n-1)/2 mögliche Dominanzrelationen auf der Menge mit n Elementen.

Alles richtig. Aber ist die Frage damit wirklich beantwortet?

Nein: wir wissen nicht, welche dieser Relationen sich nur durch Umbenennung der Elemente unterscheiden. Nehmen wir z.B. die Relation
  1 ≻ 2
  2 ≻ 3
  1 ≻ 3
Sie entspricht folgendem Graphen:
Betrachten wir nun die folgende Relation:
  3 ≻ 2
  2 ≻ 1
  3 ≻ 1
Ist es wirklich eine andere? Wenn wir uns den Graphen ansehen, würden wir sagen: es ist die gleiche, nur wurden die Elemente anders benannt - 3 heißt jetzt 1 und 1 heißt 3:
Insgesamt gibt es auf der dreielementigen Menge 23=8 Dominanzrelationen. Von diesen acht haben aber sechs den gleichen Graphen wie den gerade abgebildeten, entsprechend den 3! = 6 Möglichkeiten, die Elemente 1, 2 und 3 in einer Reihe hinzuschreiben (Permutationen).
Es bleiben zwei weitere Relationen übrig, die aber ebenfalls auseinander durch Vertauschung von Elementen hervorgehen (hierfür müssen genau zwei Elemente miteinander vertauscht werden). Es sind die Relationen, die einer kreisförmigen Anordnung entsprechen. Einerseits diese:
Und andererseits diese:
Wie man sieht, gehen diese beiden Graphen auseinander hervor, wenn man die Elemente 1 und 3 vertauscht. Sie können daher als "die gleiche Relation" betrachtet werden, denn auf die Benennung der einzelnen Elemente kommt es ja nicht wirklich an.

Das ist ein typischer Abstraktionsvorgang in der Mathematik. In diesem Fall operiert die symmetrische Gruppe Sn der Permutationen der n-elementigen Menge auf der Menge aller Dominanzrelationen dieser n-elementigen Menge, nennen wir sie Dn. Das heißt, es gibt eine Abbildung Sn×Dn⟼Dn, die jedem Paar aus einer Permutation pSn und einer Dominanzrelation ≻∈Dn eine neue Dominanzrelation ≻pDn zuordnet, definiert durch

x ≻p y :⟺ p(x) ≻ p(y) für alle Elemente x, y,

wobei die Gruppenoperation verträglich mit der Hinereinanderausführung ist, d.h. es gilt (≻p)q = ≻qp für alle Permutationen p,q und alle Dominanzrelationen .

Die ursprüngliche Menge Dn zerfällt unter der Operation dieser Gruppe in einzelne zueinander elementfremde Teilmengen, deren Elemente jeweils durch die Operation der Gruppe auseinander hervorgehen, die sogenannten Orbits der Gruppenoperation (oder auch: die Äquivalenzklassen bezüglich der Äquivalenzrelation, die durch die Gruppenoperation definiert wird).

Die Frage ist dann: beschreibe für jeden Orbit einen typischen Repräsentanten, am besten durch eine Konstruktionsbeschreibung. Dann könnte man sagen, man hat das Klassifikationsproblem gelöst, "man hat jede Dominanzrelation einmal gesehen".

Im Falle der dreielementigen Menge erzeugt die Operation der symmetrischen Gruppe offensichtlich zwei Orbits. Der eine enthält sechs Relationen, durch die die drei Elemente zu einer Kette angeordnet werden: es gibt jeweils ein größtes Element, ein mittleres und ein kleinstes Element. Der zweite Orbit ist nur zweielementig. Er entspricht der Anordnung der Elemente in einem orientierten Kreis, wobei jedes Element nur "größer" ist als sein direkter Vorgänger im Kreis. Bei der dreielementigen Menge gibt es nur zwei verschiedene Möglichkeiten (entsprechend den Orientierungen), die Elemente in einem Kreis anzuordnen. Daraus gehen die beiden Dominanzrelationen des zweiten Orbits hervor. Tatsächlich sind diese beiden Relationen äquivalent, denn eine beliebige Vertauschung zweier Elemente führt sie ineinander über.

Wie aber sieht es im allgemeinen Fall aus?

Die Ketten

Die Relationen, die ich eben Ketten genannt habe, gibt es für beliebige Grundmengen: man kann sie konstruieren, indem man jedem Element der Menge einen "score" zuweist und dann die Relation durch das "größer als" auf der Zahlenmenge definiert:
function rel(a,b) {
  return score(a) > score(b)
}
Einzige Bedingung, um eine Dominanzrelation zu erhalten, ist daß die verwendete score-Funktion injektiv sein muß: verschiedene Elemente müssen auch verschiedene Scores haben (für Elemente a,b mit gleichem Score wäre die Totalität verletzt, es würde weder a≻b noch b≻a gelten.
Durch die Score-Funktion kommen die Elemente in Form einer Kette auf dem Zahlenstrahl zu liegen, und die Reihenfolge, in der sie auf dem Zahlenstrahl liegen, bestimmt bereits die Relation. Es würde also reichen, Score-Funktionen in die Zahlenmenge {1,2,3,...,n} zu betrachten. Die Abbildung in diese Menge ist dann sogar bijektiv. Die Menge der möglichen Abbildungen entspricht der Menge der Permutationen, der symmetrischen Gruppe Sn.

Bei Ketten gibt es ein Element, das größer als alle anderen ist, dann ein zweitgrößtes Element usw. Die Dominanzrelation läßt sich symbolisch so notieren wie dieses Beispiel:
5 > 6 > 1 > 7 > 3 > 2 > 4

Die Dominanzrelation ≻ ergibt sich dann als transitive Hülle dieser Kette, indem man a≻b setzt, wenn a weiter links als b auf der Kette liegt.

Das bedeutet, mit Hilfe von Score-Funktionen landen wir nur in einer einzigen Äquivalenzklasse, einem einzigen Typ von Dominanzrelationen, dem einfachst möglichen. Die durch Score-Funktionen definierten Dominanzrelationen sind alle untereinander äquivalent.

Notation

Eine Dominanzrelation ist durch die Stellen im oberen Dreieck ihrer darstellenden Matrix definiert, die mit einer Eins besetzt sind. Das gibt eine Möglichkeit, sie in eindeutiger Form zu notieren:
{i1:j1 i2:j2 ... ik:jk}
Dabei sind i1,i2,... die Zeilennummern und j1,j2,... die Spaltennummern der Stellen, an denen in der Matrix eine 1 steht. Diese Stellen sollen nach aufsteigender Zeilennummer und in einer Zeile nach aufsteigender Spaltennummer notiert sein. Dann fungiert der so gebildete String als eindeutige Charakterisierung der Relation: haben zwei Dominanzrelationen einen zeichenweise übereinstimmenden String, so sind sie identisch.
Wenn wir nun zur Informatiker-Konvention übergehen und mit der Null statt der Eins zu zählen beginnen, so steht zum Beispiel die Notation
{0:3 0:5 1:4}
für folgende Dominanzrelation auf der sechselementigen Menge {0,1,2,3,4,5}:
Die Notation {0:3 0:5 1:4} ist also die Kurzform für die Relation
  1>0
  2≻0
  0≻3
  4≻0
  0≻5
  2≻1
  3≻1
  1≻4
  5≻1
  3≻2
  4≻2
  5≻2
  4≻3
  5≻3
  5≻4
Man kann diese Notation so verstehen, dass man genau die "überraschenden" dieser fünfzehn Relationspaare notiert - genau diejenigen, die nicht der normalen "Grösser-als"-Relation unter den natürlichen Zahlen entsprechen.

Differenzrelationen

Das Stein-Papier-Schere-Beispiel suggeriert ein Konstruktionsverfahren für gewisse totale asymmetrische Relationen beliebiger Ordnung, die ich Differenzrelationen nennen möchte.
Wie oben beschrieben, kann man die Stein-Papier-Schere-Relation auf die Subtraktion der Indices reduzieren, die Funktion lässt sich wie folgt hinschreiben:
function isStronger(i,j) {
  return (3 + i - j) % 3 == 2;
}
Die Relation auf der dreielementigen Menge {0,1,2} wird also auf die Subtraktion wie folgt zurückgeführt
i ≻ j :⇔ i - j ∊ { -1,2 }
Das lässt sich verallgemeinern: Auf der n-elementigen Menge {0,1,...n-1} kann man Relationen der Art
i ≻ j :⇔ i - j ∊ S
definieren, wobei die Menge S eine Teilmenge der Menge aller möglichen Differenzen D := { -(n-1),-(n-2),...,-1,0,1,...n-1} ist mit folgenden Eigenschaften:
  • Es gilt S∩-S=∅ (insbesondere muss also 0∉S sein), sonst wäre die Relation nicht asymmetrisch,
  • und es gilt S∪-S∪{0} = D, sonst wäre die Relation nicht total.
Jede derartige Menge S enthält also genau n-1 Elemente und ist von der Form
S = { ±1, ±2, ..., ±(n-1) },
wobei die Vorzeichen frei wählbar sind. Die 2n-1 möglichen Wahlen der Vorzeichen ergeben also ebensoviele verschiedene (aber nicht notwendig inäquivalente) Relationen, die ich mit Δ("vorzeichenfolge") notiere. Z.B. steht
Δ(-+-++)
für die Relation
i ≻ j :⇔ i - j ∊ {-1,2,-3,4,5}
auf der sechselementigen Menge {0,1,2,3,4,5}.

Relationen kombinieren

Man kann Relationen immer aus Relationen niedriger Ordnung konstruieren wie folgt:
  1. Man zerlegt die Grundmenge in k einzelne Teilmengen
  2. Auf jeder dieser k Teilmengen wählt man eine Relation Ri, i=1,...,k
  3. Weiter wählt man eine Relation R auf der Menge mit k Elementen.
  4. Auf der Gesamtmenge definiert man nun, dass x in Relation zu y steht, falls
    • sie beide in der i-ten Teilmenge liegen und sie dort in der Relation Ri stehen,
    • oder sie in verschiedenen Teilmengen i und j liegen, und i und j in der Relation R stehen
Jede der k Teilmengen wird also aus Sicht von R als "ein Element" aufgefasst. Aber innerhalb der einzelnen Teilmengen gelten die Relationen Ri.
Kombinierte Relationen dieser Art notiere ich in der Form
C( R1(i11,i12,...i1n1) R2(...) ... | R(k) )
Dabei stehen R1, ... Rk, R für die Relationen in der oben beschriebenen Notation. Hinter jeder der Einzelrelationen Ri wird die (angeordnete) Folge der Ziffern angeführt, auf denen sie operiert.
So steht z.B. die Notation
C({0:4 0:5 1:5}(0,1,3,4,5) {}(2)|{0:1}(2))
für diese Relation:
Wie man sieht, lassen sich die Ziffern {0,1,3,4,5} zu einer Gruppe zusammenfassen, die kollektiv zum verbleibenden Element 2 in der Relation ≻ steht.
Die Objekte eines Klassifikationsproblems, die sich auf schon bekannte Objekte zurückführen lassen - wie die kombinierten Relationen - sind weniger interessant als die übrigbleibenden, nicht zusammengesetzten, die "einfachen" oder "irreduziblen" Objekte.

Eine Invariante: die Kardinalität

Kennzahlen, die sich bei einem Klassifikationsproblem unter der Gruppenoperation nicht verändern, nennt man Invarianten. Für Relationen kann man eine "Kardinalität" definieren:
Die Kardinalität (0:i0 1:i1... (n-1):in-1) notiert die Anzahlen der Elemente, die in Relation zu keinem, zu einem, zu zwei usw. Elementen stehen.
Zum Beispiel hat die obige kombinierte Relation die Kardinalität
(0:1 3:5),
was bedeutet: ein Element (nämlich die 2) ist nicht grösser als irgendein anderes, alle übrigen Elemente sind grösser als genau drei andere Elemente.
Für diese Anzahlen spielt es offensichtlich keine Rolle, wie die einzelnen Elemente benannt sind oder ob man sie umbenennt.

Das kann man ausnutzen, um schnell zu ermitteln, dass zwei Relationen nicht äquivalent sind: wenn sie verschiedene Kardinalitäten haben, können sie nicht äquivalent sein.

Gilt auch umgekehrt, dass zwei Relationen mit gleicher Kardinalität zueinander äquivalent sind? Für die obige Kardinalität ist das so: es gibt 144 Relationen der Kardinalität (0:1 3:5), und sie sind alle äquivalent zu der gezeigten.

Die Kardinalität bestimmt eine Relation bis auf Äquivalenz aber nur auf Mengen mit bis zu vier Elementen. Schon bei fünfelementigen Mengen gilt das nicht mehr: so haben zum Beispiel die Relationen Δ(+++-) und Δ(+---) zwar dieselbe Kardinalität, nämlich (1:2 2:1 3:2), sind aber nicht zueinander äquivalent.
Wären diese beiden Relationen äquivalent, müsste es eine Permutation geben, die die beiden Graphen ineinander überführt. Dabei müsste die 2 in die 2 abgebildet werden, denn sie ist jeweils das eindeutig bestimmte Element, das genau über zwei andere Elemente dominiert. Die 2 aber bildet rechts (in Δ(+---)) einen Dreierzyklus mit 4 und 3:
2≻4
4≻3
3≻2
Aufgrund der Äquivalenz müssten 4 und 3 zwei Elementen im linken Graphen (dem von Δ(+++-)) entsprechen, die ebenfalls mit der 2 einen Dreierzyklus bilden. Dort gibt es aber keinen Dreierzyklus, der die 2 enthält. Also sind die beiden Relationen inäquivalent, obwohl sie dieselbe Kardinalität haben.

Die Zykelzahl

Invarianten findet man in diesem Problem, indem man Eigenschaften des Graphen zu beschreiben versucht, die nicht von der konkreten Benennung der Elemente abhängen.

Neben der Kardinalität ist beispielsweise auch die Zykelzahl eine Invariante: man kann die Anzahl wirklich verschiedener Dreierzyklen (wie "Papier,Stein,Schere") zählen, die Zahl der Viererzyklen usw. "Wirklich verschieden" bedeutet dabei: bis auf zyklische Vertauschung der zur Beschreibung des Zyklus verwendeten Elemente. "Papier,Stein,Schere" bezeichnet denselben Zyklus wie "Stein,Schere,Papier" oder "Schere,Papier,Stein" – in einem Zyklus ist es ja egal, bei welchem Punkt ich mit der Aufzählung seiner Elemente beginne.

Auch die so gewonnene Zykelzahl ist eine Invariante. Es zeigt sich, dass die Invariante zwar häufig auch verschiedene Äquivalenzklassen gleicher Kardinalität noch auseinanderhalten kann. Bis zu N=5 ist jede Äquivalenzklasse durch Kardinalität und Zykelzahl eindeutig beschrieben. Ab N=6 reicht aber auch die Zykelzahl nicht mehr aus. So haben beispielsweise die Relationen {0:2 0:5} und {0:2 0:3 0:5} dieselbe Kardinalität (1:2 2:1 3:1 4:2) und dieselbe Zykelzahl (3:4 4:4 5:3 6:1), also vier Dreier-, vier Vierer-, drei Fünfer- und einen Sechserzyklus, sind aber nicht zueinander äquivalent.

Ergebnisse

Wie sieht nun die Klassifikation der totalen asymmetrischen Relationen aus? Je mehr Elemente die Grundmenge hat, desto unübersichtlicher wird die Lage natürlich.
Auf der Menge mit N=3 Elementen gibt es, wie schon diskutiert, 6 = 3! zueinander äquivalente "Ketten", also Relationen, die sich von einer Stärkefunktion ableiten lassen. Dazu kommen zwei zueinander äquivalente Relationen vom "Stein-Papier-Schere"-Typ, die sich als Differenzrelation Δ(+-) (oder Δ(-+)) konstruieren lassen. Diese haben die Eigenschaften, dass alle Elemente immer grösser als genau ein anderes Element sind:
Die Kardinalität definiert hier noch eindeutig die Äquivalenzklasse. Das ist auch für N=4 noch der Fall. Dort gibt es bereits vier Äquivalenzklassen, neben den 24 = 4! Ketten gibt es eine Klasse mit 24 Relationen, die auch die Differenzrelation Δ(--+) enthält, sowie zwei weitere Klassen mit je acht Elementen, die sich als zusammengesetzte Relationen darstellen lassen:
Auch für N=5 Elemente können wir noch alle zwölf Äquivalenzklassen von Relationen durch eines der beschriebenen Konstruktionsverfahren repräsentieren - als Kette, als Differenzrelation, oder als zusammengesetzte Relation aus Relationen niederer Ordnung. Hier tritt erstmals der Fall auf, dass die Kardinalität nicht mehr eindeutig die Äquivalenzklasse definiert:
Für N=6 gibt es bereits 56 Äquivalenzklassen. Hier treten erstmals Relationen auf, die sich nicht durch eines der beschriebenen Konstruktionsverfahren herstellen lassen, zum Beispiel die bereits oben behandelte Relation {0:3 0:5 1:4}, oder die Relation {0:2 0:5 1:3}, die in ihrer Komplexität schon ein bisschen an den kabbalistischen Baum der Sephiroth denken lässt. Vielleicht lässt sie sich ja durch ein anderes Produktionsverfahren darstellen?

Wer die Listen dieser Relationen auch für N=6 oder N=7 (Vorsicht, ca. 100 Sekunden Rechenzeit für N=7, es müssen ca. 40 Millionen Äquivalenzprüfungen durchgeführt werden) studieren will, für den habe ich einen Relationsrechner in JavaScript implementiert und hier online gestellt:

http://ruediger-plantiko.net/relations/
Die Implementierung repräsentiert Relationen mit Hilfe von Bitfeldern der Länge N*(N-1)/2.

Die Folge

1,2,4,12,56,456,6880,191536,9733056,...
der Anzahl der Äquivalenzklassen von Dominanzrelationen definiert die OEIS-Zahlenfolge A000568. Unter diesem Link gibt es weitere Informationen und Literaturhinweise.

Nachtrag am 31.7.2016 - die ganze Chose in C++

Meine JavaScript-Implementierung zur Erforschung der Dominanzrelationen auf http://ruediger-plantiko.net/relations/ läuft bis zu N=6 befriedigend schnell; danach explodieren die Laufzeiten relativ rasch. Mit N=7 kommt man noch in ca. einer Minute durch. N=8 habe ich nicht mehr ausprobiert. Liegt es an der Scriptsprache JavaScript, die für solche Algorithmen eher ungeeignet ist? Die Frage liess mir keine Ruhe, und so reimplementierte ich das ganze in C++ - hier der Code auf ideone.com:
http://ideone.com/KBihCA
Das Ergebnis stellte klar: auch mit C++ liess sich die Laufzeit nur ungefähr verdreifachen. Vielleicht ist, wenn man alles optimiert in C hinschreibt, auch ein Faktor 10 noch denkbar. Aber das rettet uns nicht. Auch das C++-Programm ist chancenlos für die rund 35 Billionen Relationen (genauer: 245 = 35'184'372'088'832), die für N=10 gegenseitig auf Äuivalenz zu prüfen wären und schließlich 9'733'056 Äquivalenzklassen ergeben werden.

Eine Laufzeitanalyse mit gprof zeigt das erwartbare Ergebnis, dass weit über 95% der Laufzeit im Test auf Äuivalenz liegen - auf diese Prüfung kommt es natürlich an. Meine Optimierung ging schon dahin, statt sämtliche N! Permutationen auszuprobieren, um eine zu finden, die die Relationen ineinander überführt,

  • zuerst die Kardinalitäten der beiden Relationen zu berechnen (da eine der beiden Relationen aus dem Pool der Repräsentanten bereits ermittelter Äuivalenzklassen stammt, muss sie für diese nicht immer neu berechnet werden);
  • sind diese ungleich, so sind die Relationen inäquivalent;
  • sind sie gleich, so muss die Permutation die Elemente mit jeweils gleicher Kardinalität ineinander überführen;
  • ich versuche daher sukzessive die einzelnen Elemente mit Kardinalität 1, 2, usw. durch Permutation so ineinander zu überführen, dass auf den bislang bereits untersuchten Elementen beide Relationen miteinander übereinstimmen. Sobald dies für irgendeine Kardinalität nicht mehr funktioniert, sind die Relationen inäquivalent.
  • erst wenn sie all diese Prüfungen bestanden haben, sind sie äquivalent.

Aber ich habe natürlich den direkten brute force Zugang gewählt. Wenn es nur um die Konstruktion dieser Äuivalenzklassen mit Angabe je eines Repräsentanten geht, ist es vermutlich nicht nötig, sämtliche möglichen Relationen durchzugehen.